14 
3. Abhandlung: Leopold Fejer 
§ 4. Eine Potenzreihe, deren Randfunktion für den Konvergenz- 
kreis überall stetig ist, und die an einzelnen Stellen des Kon- 
vergenzkreises divergiert. 
Herr Pringsheim hat die folgende Frage gestellt (s. die 
Einleitung dieser Note) : 
Es sei 
/ O) = c a + c, z + c 2 -f . . . + c„ z n + . . . (26) 
eine Potenzreihe der komplexen Variabel z, deren 
Konvergenzradius gleich 1 ist. Weiter sei f(z) für 
U I <[l 
stetig. 1 ) Ist es möglich, daß die Potenzreihe (26) an 
einer Stelle des Konvergenzkreises \z \ = 1 (etwa an 
der Stelle z — 1) divergiert? 
Wie Herr Pringsheim hervorhebt, ist diese Frage durch 
die du Bois-Reymondsche Entdeckung (nach welcher es 
solche überall stetige Funktionen von 6 gibt, deren Fouriersche 
Reihe für 6 = 0 divergiert) noch nicht erledigt. Bedeutet 
nämlich 
00 
c* cos y. 6 (27) 
x=0 
die Fouriersche Reihe einer solchen (geraden, überall stetigen, 
nach 2 7 1 periodischen) du Bois-Rey mondschen Funktion, so 
ist diese für unserem Zwecke nur dann brauchbar, wenn auch 
die konjugierte Reihe 
00 
’V' 1 Cy. sin y fi (28) 
x—O 
die Fouriersche Reihe einer überall stetigen und nach 2 tz 
periodischen Funktion repräsentiert. 
L D. h. es konvergiere f(ge' ), (wo 0 ü: g *= 1), für lim g — 1 zu 
einem bestimmten Grenzwert, und zwar gleichmäßig für 0 <: Ö <: 2.t. 
Die „Randfunktion“, die eben durch diesen Grenzübergang definiert ist, 
ist dann notwendigerweise eine überall stetige und nach 2 -t periodische 
Funktion von ft. 
