Über gewisse Potenzreihen an der Konvergenzgrenze. 
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Ich behaupte nun : 
Die Potenzreihe 
CO 
F(z) — ci l z + a 2 z 2 + a 3 * 3 -f- ... + a x z* + ... a K z* (29) 
*= i 
wo die Koeffizienten a x die im §2 unter (a) definierten 
Zahlen bedeuten, ist für |*|<1 konvergent, und 
ihre Summe ist für \z | <1 stetig. Sie divergiert an 
der Stelle z — 1 des Einheitskreises. 
Beweis. Da lim a x = 0 ist, also konvergiert die Reihe (29) 
* = 00 
für | z | < 1. Weiter geht die Reihe (29) für z= 1 in die Reihe 
00 
x=l 
über, und wir haben im § 2 gesehen, daß diese Reihe diver- 
giert. Es bleibt also nur noch übrig zu zeigen, daß F (z) für 
| z | < 1 stetig ist. 
Für | z | < 1 ist 
F(z) =2 
*=) 
Da aber für | z | < 1 gewiß 
00 / oo 
g* *" = (y \ a* z K 
x=\ V=I 
daher ist für | z j < 1 sicher 
Die rechtsstehende unendliche Reihe konvergiert aber nicht 
nur für | z | <1. sondern sie konvergiert auch, und zwar 
gleichmäßig und absolut, im Bereiche 
|*| < 1 - 
In der Tat. Die an der rechten Seite der Gleichung (30) 
stehende Reihe ist eine Reihe, deren allgemeines Glied ein 
