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3. Abhandlung : Leopold Fejer 
Polynom in z — x -\- y i ist, d. h. deren allgemeines Glied von 
der Form u y (x, y) -j- iv r (x. y) ist, wo u v (x, y ) , v r (x, y) har- 
monische Polynome in x, y bedeuten. Daher ist (mit Rücksicht 
auf die Ungleichungen (1), (3) des § 1) 
' «>■ Ou y) j < ^ , ! v v (x, y) | < für x * 2 + y* <j 1, 
womit die gleichmäßige (und absolute) Konvergenz der Reihe (30) 
für | z | < 1 erwiesen ist. Also ist, mit Rücksicht auf die 
Gleichung (30), die Funktion F(z ) für | z | < 1 stetig. 1 ) 
Es seien a x dieselben Zahlen wie vorher, und es seien A* 
diejenigen positiven ganzen Zahlen, die unter (21) definiert 
sind. Dann gilt folgendes: 
Die Potenzreihe 
F i 0 ) = 2J ^ ( 31 ) 
y=l 
ist für , z | < 1 konvergent, und ihre Summe ist für 
z | < 1 stetig. Sie divergiert an den Stellen 
e 
m 
- 7i i 
u 
fm = 0 , ± 1 . ± 2 , . . . 
\ n = ± 1 , ±2, 
des Einheitskreises, welche den Einheitskreis überall 
dicht erfüllen. 2 ) 
*) Daß die Summe der Potenzreihe (29) für | z | = 1 gleichmäßig 
stetig in stetige Randwerte übergeht, folgt auch daraus, daß. für i 2 =1, 
die arithmetischen Mittel dieser Potenzreihe gleichmäßig zu (p{0)-\-iy (6) 
konvergieren. S. Math. Annalen, Bd. 58, pag. 60: „Zusatz zum Haupt- 
satze“, und pag. 65, 66: „Zusatz“ etc. 
2 ) Ich bemerke beiläufig, daß der Einheitskreis für die Potenz- 
reihe (31) eine natürliche Grenze ist. Wäre nämlich auf dem Kon- 
vergenzkreise ein noch so kleiner regulärer Bogen vorhanden (wo also 
( 2 ) überall regulär wäre) so müßte, wegen lim n x = 0, nach dem Satze 
y.— a: 
des Herrn Fatou die Potenzreihe (31) auf diesem Bogen überall kon- 
vergieren. Dies ist aber, wie eben ausgesprochen, nicht der Fall. 
