Semikonvergente Entwickelungen für die Zylinderfunktionen. ( 
§ 2. Allgemeine Diskussion der Integrationskurven. 
Wir zeigten früher, daß es für die wirkliche Ausführung 
der Integration am vorteilhaftesten sei, als Integrationskurven 
solche Wege zu wählen, auf denen der imaginäre Teil des in 
den Definitionsformeln (1) auftretenden Bestandteiles 
(5) f(r) = — 
des Exponenten, einen konstanten Wert annimmt. Maßgebend 
für den Wert des betreffenden Integrals ist dann im Limes 
für x = oo nur die nächste Umgebung desjenigen Punktes, 
wo der reelle Teil von f (r) seinen Minimal wert erreicht und 
der zugleich einen Sattelpunkt der über die r- Ebene ausge- 
spannten Fläche des reellen Teiles von f( r) bildet. Auch für 
komplexe Werte von x = Pe 1 können wir mit Vorteil die 
obige Definition der Integrationskurven beibehalten. Schreiben 
wir nämlich 
(6) f(x) = R -f- iJ, 
so wird der in (1) auftretende Exponent 
— xf{r) = — P(R cos <P — J sin ( P) — i P ( R sin <P -j- J cos <P). 
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Da andererseits zwischen — — und -f- — liegen soll 
u u 
so gibt es eine Kurve, auf welcher der Absolutwert des reellen 
Teiles unseres Exponenten vom Sattelpunkt aus stetig zunimmt, 
so daß auch jetzt die Beiträge weiter entfernter Punkte exponen- 
tiell kleiner werden mit wachsender Entfernung vom Sattelpunkt. 
Wir wollen nun in diesem § die charakteristischen Eigentüm- 
lichkeiten besprechen, welche die Integrationskurven je nach 
der Lage des zugehörigen Sattelpunktes auszeichnen. 
Was zunächst den Sattelpunkt r = r n selbst betritft, so 
ist dessen Lage definiert durch die Formel 
( 7 ) f‘(i Q ) = 0 , oder cosr n = — = ( '' ‘ I ’\ 
CC x 
