Semikonvergente Entwickelungen für die Zylinderfunktionen. 23 
bleiben wir zunächst im Gebiete II. Liegt der Sattelpunkt r 0 
nun auf dieser Kurve, so liefern r = r 0 und x — — t 0 Bei- 
träge von derselben Ordnung, so daß wir jetzt im Limes für 
|#j = oo durch Addition der rechten Seiten von (15) und (16) 
für H'Z ( x ) die Darstellung erhalten : 
(21 )H«(x) = 
oder auch 
t 
e 
71 
7 
71 
f — i'x(sill tq“ r O cosr ü^ i * **(sinro— r()COSro)\ 
\c -+ -ie / 
(210 H*{x) 
+ x ( sin T o — T o cos T o) 
Andererseits ist ja die Übergangskurve gerade dadurch 
definiert, daß auf ihr der reelle Teil von i#(sinr 0 — t 0 cost 0 ) 
oder auch der imaginäre Teil von x (sin r 0 — r 0 cosr 0 ) ver- 
schwindet. Die Hankelsche Funktion wird also asymptotisch 
dort Nullstellen besitzen, wo die in (2D) auftretende cos.- 
Funktion verschwindet. Zusammenfassend können wir also das 
Resultat folgendermaßen aussprechen : 
Definiert man die in unendlicher Anzahl vorhandenen kom- 
plexen Größen r 0 = w n durch die beiden Formeln 
( 22 ) 
| 0 [x (sin iv, , 
x (sin w 
l 
— w„ cos w n )] = 0 
, — w n cos iv n ) = (4 n 
1) 
71 
T r 
wobei n eine beliebige ganze Zahl bedeutet und übrigens die 
erste Gleichung (22) in der zweiten enthalten ist, so findet 
man die unserer Größe w n entsprechende Wurzel der Hankel- 
schen Funktion nach (7) aus der Formel 
(220 — = cos iv n . 
x 
Es ist hierbei noch zu bemerken, daß in Übereinstimmung 
mit dem im § 3 unter b) über die anderen, durch 0 gehenden 
Übergangskurven Gesagten nur solche Werte von w n in Be- 
tracht kommen, welche der das obere linke Gebiet II durch- 
