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6. Abhandlung: A. Pringsheim 
indessen, daß gerade jene dem Wesen der Sache fremden Be- 
schränkungen auch eine ganz unnötige Weitläufigkeit der Unter- 
suchung im Gefolge haben. Herr van Vleck hat daher später 
das betreffende Problem unter Verzicht auf jene Beschränkungen 
wiederaufgenommen, 1 ) wobei ersieh auf einen Satz des Herrn 
Poincare 2 ) über das infinitäre Verhalten der Lösungen einer 
linearen Rekursionsformel (Differenzen-Gleichung) beliebiger Ord- 
nung stutzt. Dieser Satz, auf den vorliegenden Fall reduziert, 
besagt folgendes. Es sei a v (v = 1 , 2 , 3 . . .) eine gegebene 
Zahlenfolge mit dem Grenzwerthe lim a,. = a und es werde eine 
andere Folge von Zahlen D,, bei irgendwie fixierten Anfangs- 
werten _D 0 , D y definiert durch die Rekursionsformel: 
D v + 1 — D v — a y+ \ xD ,.- 1 = 0 . 
Bezeichnet man sodann mit z und z‘ die Wurzeln der 
quadratischen Gleichung 
y 2 — y — ax = 0 
und zwar, bei definitiver Ausschließung des Falles \z\ = \z'\, 
mit der Festsetzung |#|>!#'|, so ist im allgemeinen : 
(a) 
und ausnahmsweise: 
(b) 
Der Satz in dieser Form erweist sich aber — ganz abge- 
sehen von der einigermaßen fragwürdigen Natur des Poin- 
careschen Beweises. 3 ) dem Herr van Vleck übrigens einen 
>) „On tlie convergence of algebraic continued fractions whose coef- 
ficients have limiting values.“ (Transact. Americ. Math. Soc. 4 (1904), 
p. 253.) Wird von mir als van Vleck (3) zitiert. 
2 ) Americ. Journ. of Math. 7 ( 885), p. 213. 
3 ) Daß fast alle bei jenem Beweise benützten Formeln verrechnet 
sind, mag man vielleicht nur als einen Schönheitsfehler anseheu. Aber 
bei der ziemlich flüchtigen und zugleich überknappen Darstellung des 
ganzen Beweises ist es mir leider trotz aufrichtiger Bemühung über- 
