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6. Abhandlung: A. Pringsheim 
analytischen Funktionen und somit die Gleichheit der beiden 
Ketten brüche für den gesamten Bereich. Infolge der Identität 
der für K {x) und K 1 ( x ) in der Umgebung von x = 0 be- 
stehenden Potenzreihen-Entwickelung findet man dann zunächst 
durch Vergleichung der konstanten Anfangsglieder: 
(11) a 1 = &,. 
Aus der für alle x des Bereiches T erwiesenen Gleichheit : 
«1 
a v x 
00 
\\ 
b,.x 
.1 
T 
2 
.1 
~T 
folgt dann weiter, daß auch die Gleichheit bestehen muh : 
( 12 ) 
" a r x 
00 
by X 
1 
o 
_ 1 
für alle Stellen von T. an denen diese beiden Kettenbrüche 
überhaupt konvergieren, was im übrigen keineswegs ausnahms- 
los der Fall zu sein braucht, da ja die ursprünglich vorge- 
legten Kettenbrüche nicht ausdrücklich als unbedingt konvergent 
vorausgesetzt wurden. Sind aber Divergenzstellen überhaupt 
vorhanden, so können diese, wie aus dem Satze I (Nr. 2 dieses 
Paragraphen) hervorgeht, nur gewöhnliche Nullstellen von K(pc) 
bzw. AT, (#) sein und daher innerhalb T nur in endlicher An- 
zahl Vorkommen. Da andererseits K (0) und K 1 (0) nicht ver- 
schwinden, so muß für K{x ), K x {x) eine von Nullstellen freie 
Umgebung von x — 0 existieren, innerhalb deren also die 
Kettenbrüche (12) ausnahmslos konvergieren und wegen 
a,.x 
* a x — K{x) 
b,. x 
l 1 J 
2 K{x) ' 
1 j 
b,-K x (x) 
K x {x) 
analytische Funktionen regulären Verhaltens darstellen. Dann 
müssen aber auf Grund von Gl. (12) die Anfangsglieder der be- 
treffenden Potenzreih en-Ent Wickelungen wieder übereinstimmen, 
so daß also sich ergibt: 
#2 b 2 . 
Und da diese Schlußweise unbegrenzt fortgesetzt werden 
kann, so erkennt mau die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzes. 
