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6. Abhandlung: A. Pringsheim 
(#) 
wobei der Quotient lJ - , genau denselben Charakter besitzt, 
•Pi (. x ) 
wie der ursprünglich betrachtete : 1 und somit auch wieder 
Po \ x ) 
Durch n maligre An- 
die analoge Transformation gestattet. 
wendung dieses Verfahrens gelangt man somit zu einer Ketten- 
bruch-Entwickelung von der Form : 
(15) = ^ + + 
+ 
a„ X , Cl n -)- ] X • ißn 4. 1 (#) 
+ 
1 ' y n (x) 
wo wiederum ^„(.r), < i|3„ 4. 1 (#) zum mindesten für 'x <r kon- 
vergieren und *$„(0) = (0) = l. 1 ) Sieht man von dem 
besonderen Falle ab, daß für irgend ein bestimmtes n : 
$*+i(aQ _ , 
$.(*) ~ 
resultiert und somit F ( x ) sich auf den endlichen Kettenbruch 
» + 1 
, also auf eine rationale Funktion reduziert, so führt 
2 
i Verfahren zur Entstehung eines unendlichen Ketten- 
a, a r x 
1 ’ 1 
das obige 
b Neben dieser Entwickelung existiert naturgemäß noch eine zweite 
von ähnlicher Form, jedoch mit dem nennerfreien Gliede 0 , anfangend. 
Man hat nämlich zunächst: 
F(x) - fi, 
%(r) ) 
CL\ — 0\ (1% 
% (•<•) 
%>(*) 
und kann sodann auf den Quotienten 
au*) , . _ . . , 
^ — das im Texte beschriebene 
5Po(^) 
Entwickelungsverfahren an wenden. 
Ein analoger Zusammenhang besteht z. B. auch zwischen den beiden 
Entwickelungen : 
( 1 +*)" 
1 
1 
n -f- 1 
nx\ 2 
t -1 r 
n — 1 2 (n -f- 2) I 2 (w — 2) 
2-3 3-4 4-5 
1 1 1 
(s. Gauß, Werke, Bd. 3, p. 136) und: 
n — 1 n-\-l 
(l-Mf = 1 -H 
nx | 
2 -3_ 
1 
2-3 
n + 2 
FF- 5 ' 
1 I 1 
(s. Lagrange, Oeuvres, T. 4, p. 315). 
1 
