Über gewisse limitär-periodische Kettenbrüche. 
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des Bereiches \x <r konvergiert, so würde daraus noch keines- 
wegs ohne weiteres folgen, daß sein Wert mit demjenigen von 
F(x ) übereinstimmt: vielmehr müßte, wenn man wiederum 
seine Näherungsbrüche mit 
lieh bewiesen werden, daß 
ist 1 ) (woraus dann umgekehrt die Konvergenz des Kettenbruches 
eo ipso folgen würde). Diese schon bei verhältnismäßig ein- 
fachen und beschränkten Voraussetzungen schon ziemlich um- 
ständliche, 2 ) bei nur wenig allgemeineren, wie z. B. in dem 
klassischen Falle des Quotienten zweier hypergeometrischer 
Reihen 3 ) ganz außerordentlich schwierige und mühsame Fest- 
stellung wird indessen entbehrlich durch den folgenden Satz, 
durch welchen tatsächlich die Frage nach der Entivickelbarkeit 
von F ( x ) in einen konvergenten Kettenbruch der fraglichen 
Art auf dessen rein formale Herstellung und auf die bloße 
Untersuchung seiner (gleichmäßigen) Konvergenz zurückgeführt 
wird, nämlich : 
Satz IV. Wenn der bei dem oben bezeichneten Ver- 
fahren aus F (x) hervorgehende unendliche Kettenbruch 
für eine gewisse Umgebung der Stelle x — 0 gleichmäßig 
konvergiert, so stimmt sein Wert daselbst mit demjenigen 
von F (x) überein.*) 
a ) Vgl. Enzyklopädie der math. Wissensch. I, 1, p. 135. — Oscar 
Perron, Sitz.-Ber. 37 (1907), p. 496. 
2 ) Lambert, Histoire de l'Academie de Berlin 1761 (publ. 1768), 
p. 368 ff. (vgl. hierzu Sitz.-Ber. 28 (1897), p. 331). — Schlömilch, Algebr. 
Analysis (4. Aufl. 1868), p. 304, 321. — Stolz- Gmein er, Einleitung in 
die Funktionentbeorie 2 (1905), p. 580 ff. 
3 ) W. Thome, Journ. für Mathematik 66 (1866), p. 322 — 336; 67 
(1867), p. 299—309. 
*) Diesen Satz scheint im wesentlichen schon Riem an n gekannt 
zu haben, wie ich aus einer Bemerkung am Anfänge des Fragmentes: 
