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6. Abhandlung: A. Pringsheim 
Beweis. Aus Gl. (15) folgt zunächst: 
■pi /^,\ 'ßn (A) ' A n (®) ~V~ ®m + 1 X • < 'lPn+ 1 (#) ' A n — ] (x) 
% t (x) ■ B n (oc) -j- ö n + ] £■ + 1 (#)•!?„_, (X) 
und daher 
F(x)~ 
(16) 
A„ {x) _ a„+]a: - s 1B n+ )(a?) • { A h -i ( x) • B„ (x) — A n (x ) • B n - X (#)} 
B n (x) 
B„ \X) • { j8 n (x) B„ (a:) + a n+ i X ■ ^ M+ , (x) • B n - X («)} 
a, . . . a „+ 1 • x n • ^ n+ , [x) 
B n (x) • {')?„ {x) ■ B n (x) + o (1+1 x • U -+1 (*) • B „- , (a?)} ’ 
Da B n (0) = iß„(0) = ^ n +i (0) = 1, so folgt, daß die Ent- 
wickelung des letzten Ausdruckes nach Potenzen von x mit 
x n beginnt, somit die Entwickelung von F (x) bis zu dem 
j^l (cc) 
Gliede mit x n ~ 1 einschließlich mit derjenigen von ^ ^ über- 
-&n (%) 
einstimmt (bei beliebigem n). Und da andererseits nach dem 
= (—!)"■ 
Satze II (p. 9) das gleiche für die Entwickelung von lim 
A n (pC) 
n = « B n (pC) 
stattfindet, so ergibt sich die vollkommene Identität der Potenz- 
A ( x ) 
reihen für F (#) und lim T , und somit die Existenz der 
n = oc - AJn (X) 
Beziehung : 
(17) F(x) = \^, a -f 
in dem behaupteten Umfange. — 
Zusatz I. Das oben beschriebene Entwickelungsverfahren 
und der soeben bewiesene Satz behalten selbstverständlich ihre 
Gültigkeit, wenn eine der beiden mit 'ßo(^) und i iß, (#) be- 
zeichneten Potenzreihen auf die Einheit, also F{x) auf eine 
einfache Potenzreihe oder deren reziproken Wert sich reduziert. 
Zusatz II. Reduziert sich F (x) auf den Quotienten zweier 
Polynome, so muß bei dem obigen Verfahren die Kettenbruch- 
„Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione 
continua infinita“ (Werke, 1. Aufl., p. 400) entnehmen möchte. Er findet 
sich ohne Angabe des Autors in der Enzyklopädie der raath. Wissen- 
schaften II, 2, p. 91, auch bei van Vleck (2), p. 15, scheint aber nicht 
allgemein bekannt zu sein. 
