Über gewisse limitär-periodiselie Kettenbrüche. 
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Entwickelung offenbar bei einem bestimmten Gliede abbrechen, 
mit anderen Worten, eine rationale Funktion liefert stets einen 
endlichen Kettenbruch der betrachteten Form. Hieraus folgt 
aber in Verbindung mit dem Zusatze am Schlüsse von Nr. 4, 
daß ein unendlicher , in der Umgebung T von x. — 0 gleich- 
mäßig konvergierender Kettenbruch dieser Art, daselbst niemals 
eine rationale Funktion darstellen kann. 1 ) 
6. Es werde jetzt angenommen, bezüglich der Konvergenz 
des Kettenbruches 
a 1 a v x 
T’ T 
stehe zunächst nur soviel fest, 
daß in einem gewissen zusammenhängenden und abgeschlos- 
senen, die Stelle x = 0 im Innern enthaltenden Bereiche T 
a„ x 
der .Rest- Kettenbruch“ 
1 
bei einer bestimmten, für den 
m + 1 
ganzen Bereich gleich bleibenden Wahl von m> 0 gleichmäßig 
konvergiere. Wird dann mit 
A,,,, n O^) 
-Ihn , n O^O 
der n ie Näherungsbruch 
dieses Rest-Kettenbruches bezeichnet, so daß also: 
(18) 
und setzt man : 
(19) 
-Am, n O^O 
Rm, n ('^') 
a v x 
1 
m -f- n 
m + 1 
i • A m , n ( X ) T7~ r \ 
lim ^ He = Km (x ) , 
n — oo B m , n (x) 
so repräsentiert wiederum K m (x) nach Satz 1 (p. 8) eine in T 
reguläre analytische Funktion. Man hat sodann: 
( 20 ) 
-4 m -f- n (#) -ßm, n (^) * -4 m (#) -4 m , n (*&) * -4 m _ 1 (#) 
-ß/n -}- n (*2/) 
und daher: 
-4/n n (^) 
-ßm, n ip^) * -ßm ( % ) ~\~ d-m, n (x) • ßm — 1 
( 21 ) 
-4//t (#) 4m — 1 0^) * (^) 
ßm (a?) + - 1 (#) • Km {%) ’ 
vorausgesetzt, daß der rechts stehende Ausdruck einen Sinn hat. 
lim 
t = oo -L>m -f- n J 
ü Auch hier beruht die Sicherheit der gemachten Aussage wieder 
wesentlich auf der Zugehörigkeit der Stelle x — 0 zum Innern von T. 
Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1910, 6. Abh. 2 
