Über gewisse limitär-periodische Kettenbrüche. 
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Ersetzt man in Ungl. (3) n sukzessive durch ( n — 1), 
(n — 2), . . . 2, multipliziert die resultierenden Ungleichungen 
bzw. mit (|) 2 , . . . Q-)“ -2 und addiert sie zu Ungl. (3), so 
findet man : 
( 4 ) 1 ) •(*)*, 
also schließlich mit Berücksichtigung von (1): 
(5) B n > (n + 1) • (1)". 
Hieraus folgt zunächst, daß keiner der Näherungsbruch- 
Nenner B„(x) für \x\<q verschwinden kann. Da sodann: 
( 6 ) 
= + 'rar* 
, — i 
und andererseits mit Benützung von Ungl. (5): 
( 7 ) 
a, . . . a v 
B v _ i By 
• x r ~ 1 
2 v-i.2- 
v(v+l) 
v(v + 1) ’ 
so erkennt man, daß die Summe (6) für \x\ < q und lim n = oo 
in eine absolut konvergente Reihe übergeht, deren einzelne 
Glieder absolut genommen die entsprechenden Glieder der 
absolut konvergenten Reihe 
1 + 2 & 
1 
v (v -j- 1) 
nicht übersteigen und die somit für x < q gleichmäßig kon- 
vergiert. 1 ) Das letztere gilt somit auch für den mit jener 
1 ) Das eben durchgeführte Beweisverfahren besagt im Grunde nichts 
anderes, als daß der Kettenbruch bzw. die damit äquivalente Reihe noch 
in dem für die Konvergenz ungünstigsten Falle a y x= — f (v = 2, 3 . . .) 
konvergiert. ln diesem Falle tritt nämlich an die Stelle der Ungleichung (5) 
die Gleichung: 
B n = (n + IM*)" 
und es wird demnach : 
lim - ( 1 + 2 -yV i )] 
n = ^B n \ 2 v(v + l)J 
= 2 a u 
