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6. Abhandlung: A. rringsheim 
Reihe äquivalenten Kettenbruch. Und da die obere Grenze 
der a v \ sich keinesfalls erhöhen kann, wenn man lediglich 
Indices v > m > 2 in Betracht zieht, so folgt unmittelbar, daß 
der Kettenbruch auch unbedingt konvergiert (so daß also sein 
Wert für durchweg von Null verschieden ist). 
Wird jetzt ferner angenommen, daß lim a y = a‘ < n, so 
V = CO 
läßt sich zu beliebig kleinem d>0 ein n so fixieren, daß: 
| Uv j 5s a' + j für v > n. 
Genügt dann x der Bedingung: 
x \ <>' 
1 
4«' + <5’ 
so ist auf Grund des soeben bewiesenen Satzes der Ketten- 
bruch ~-J (unbedingt und) gleichmäßig konvergiert, und es 
konvergiert daher der Gesamt-Kettenbruch noch zum mindesten 
im wesentlichen gleichmäßig in dem erweiterten Gebiete Q<x<C.r'. 
Zusatz. Unter den gemachten Voraussetzungen stellt der 
Kettenbruch eine für 0 < x < 
eindeutige 
8 ( W0 8 = Ta 
und von Null verschiedene, zum mindesten für 0<|a;|<£> 
reguläre analytische Funktion dar. Die Regularität erstreckt 
sich auch noch auf \x \ = g, wenn lim a, — a‘ < a, während 
dann die betreffende Funktion für o < \ x\ < g' |^wo q‘ = ^ a <j 
noch bis auf etwaige Pole regulär ist. Die eventuelle Anzahl 
dieser letzteren ist für x < r‘ < q‘ stets endlich, könnte aber 
hei unbegrenzter Annäherung von r‘ an q‘ über alle Grenzen 
wachsen. 
wie sich übrigens auch durch Auswertung des periodischen Kettenbruches 
«il _ Ü _ Ü _ 
|1 |1 1 "*• 
leicht verifizieren läßt. 
