Über gewisse liinitär-periodische Kettenbrüche. 
Zugleich ergibt sich aus Satz IV des vorigen Paragraphen 
(p. 15), daß ein Kettenbruch der vorliegenden Art, falls er 
durch formale Entwickelung von F (x) = 
(x) 
¥o(*) 
gewonnen wird, 
die Funktion F(x ) bzw. auch deren analytische Fortsetzung 
wirklich darstellt. 
§3. Der Fall lima v =0. — Der Heinesche Kettenbruch 
V = OO 
und die Heinesche Reihe. 
1. Besonders einfach gestaltet sich der Fall a‘ — lim a,, — 0, 
d. h. schließlich: 
lim a y = 0. 
Da sodann p' = ? d. h. beliebig groß wird, so konvergiert 
der betreffende Kettenbruch in jedem noch so großen endlichen 
Bereiche zum mindesten im wesentlichen gleichmäßig, für eine 
gewisse Umgebung der Stelle x = 0 schlechthin gleichmäßig. 
Da er also keinesfalls eine rationale Funktion darstellen kann, 
so ergibt sich der folgende Satz: 
Ö O 
(t (X 
Ist lim a v = 0 , so konvergiert der Kettenbruch 
v = co 1 L 1 1 J» 
in jedem noch so großen endlichen Bereiche mit eventueller 
Ausnahme einer endlichen Anzahl außerwesentlicher Di- 
vergenzstellen. Er stellt eine in der Umgebung von x = 0 
reguläre, im übrigen bis auf etwaige' 1 ) Pole reguläre ana- 
lytische Funktion mit der wesentlich singulären Stelle 
x — oo dar. 
1 ) Die Pole können auch gänzlich fehlen, so daß also dann der 
betreffende Kettenbruch eine ganze transzendente Funktion darstellt. 
Man hat z. B. 
1 
lj x , 
li UM l " 
l 
2 • 3 ‘ 
PT' 
i 
2 • 3 
1 I 1 
2-5 I 2-5 
I l-M i 
