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6. Abhandlung: A. Pringsheim 
2. Dem hier betrachteten Typus gehört der Kettenbruch 
an, den Heine für den Quotienten zweier verallgemeinerter 
hypergeometrischer („Heinescher“) Reihen abgeleitet hat. 1 ) 
Es werde gesetzt: 
(1) cp (a, ß, y, q, x ) 
” (1 — 9 a )...(l— g° +y — T ) (1 — gQ...(l-g^+ v ~ 1 ) 
(l — «r) . . . (1— >) (1 — a) - - - (1— flD 
wo a, ß, y , q beliebige reelle oder komplexe Zahlen bedeuten, 
lediglich mit der Beschränkung, daß y weder Null, noch ganz- 
zahlig negativ und q < 1; 2 ) die Potenzen von q sind als Haupt- 
werte zu verstehen. Die Reihe konvergiert, wie unmittelbar 
aus dem Cauchyschen Haupt-Kriterium zweiter Art hervor- 
geht, für x <1, sie divergiert für \x \ > 1 (übrigens auch 
für \x\ = 1, da die Koeffizienten bei unbegrenzt wachsendem 
Index, in Folge der Konvergenz der im Zähler und Nenner 
auftretenden Produkte, bestimmte von Null verschiedene Grenz- 
werte besitzen); ist mindestens eine der Zahlen a, ß negativ 
ganzzahlig, so reduziert sich die Reihe auf ein Polynom, im 
Falle a = 0 oder ß — 0 auf das Anfangsglied 1. 
(Gauß, Werke, Bd. 3, p. 136; daselbst steht infolge eines Druckfehlers 
im dritten Gliede l statt i), oder auch: 
1 1 1 
2 X , 2- 
1 
x\ 
2-3 | 
1 
- — x 
2-5 
1 
2 • 5 j , 
1 1 1 
1 1 ^ 
1 1 + 
(Lagrange, Oeuvres T. 4, p. 317). 
*) Dies gilt mit einer unerheblichen Modifikation auch für den 
„Besselschen“ Kettenbruch, d. h. die Kettenbruch-Entwickelung des 
Quotienten zweier Bess eischer Funktionen, deren Indices sich um eine 
additive Einheit unterscheiden. S. van V leck (1), Nr. 10. 
2 ) Der Fall | q [ > 1 kann mit Hilfe der unmittelbar ersichtlichen 
Beziehung : 
cp («, ß, y, q,x) = cp ^a,ß, y,*,q ,l+p ~ : '~ 1 x'J 
auf den im Text behandelten zurückgeführt werden. Für q = 1 , ge- 
nauer gesagt für lim q — 1 geht die Reihe in die gewöhnliche hyper- 
geometrische über. 
