Über gewisse limitär-periodische Kettenbrüche. 
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Für den Quotienten zweier solcher Reihen besteht dann, 
wie Heine rein formal abgeleitet hat, 1 ) eine Kettenbruch-Ent- 
wickelung von der Form: 
y(q, ß + l,y-\- = Io, a^xY 
cp (a, ß, y,q,x ) U ’ 1 J 2 ’ 
wo a, — 1, im übrigen: 
( 3 ) 
a 2 , t = — ^ + 
a 2 ,«+i = — 
(l- g a+,«-l) (l-gr-^-1) 
(1 — qr+ 2 P~ 2 ) (1 - q r+V- 1 ) 
(1 - (1 ~qv-«+t<-) 
(1— ^+ 2 .“- 1 ) (1 — g>'+ 2 “) 
1,2,3...). 
Da hiernach lim a v = 0 wird, so ergibt sich auf Grund 
V = 00 
der vorhergehenden Betrachtungen, daß die Entwickelung (2) 
in der Umgebung von x = 0 wirklich gültig ist und daß der 
in jedem endlichen Bereiche bis auf eine endliche Zahl außer- 
wesentlicher Divergenz-Stellen konvergierende Kettenbruch als 
analytische Fortsetzung des obigen Reihen-Quotienten eine ein- 
deutige, im Endlichen bis auf Pole reguläre Funktion definiert 
(und zwar mit der wesentlich singulären Stelle x — co, außer 
wenn der Kettenbruch sich auf einen endlichen reduziert, was 
allemal dann und nur dann der Fall ist, wenn a — y positiv 
ganzzahlig bzw. ß — y positiv ganzzahlig oder Null). 
Es fragt sich nun, oh der analoge Funktions-Charakter 
auch der Reihe cp (a, ß, y , q , x) an sich zukommt. Denn aus 
1 ) Mitteilung des Resultates im Journ. f. Math. 32 (1846), p. 212; 
Herleitung ebendaselbst 34 (1847), p. 294; genauere Untersuchung der 
Näherungsbrüche ebendaselbst 57 (1860), p. 237 ff. Vgl. auch Handbuch 
der Kugelfunktionen 1 (2. Aufl. 1878), p. 284. — Die wirkliche Gültigkeit 
der Entwickelung (2) bzw. die Konvergenz des fraglichen Kettenbruches 
scheint mir von Heine nicht bewiesen worden zu sein. So viel ich über- 
sehen kann, finden sich die betreffenden Beweise in der Literatur über- 
haupt zum ersten Male in der oben (p. 7) bereits erwähnten Abhandlung 
des Herrn J. Thomae: Journ. f. Math. 70 (1864), p. 278, Art. 7 und zwar 
nur implicite, mit allgemeineren, äußerst verwickelten Untersuchungen 
verknüpft; in elementarer, auf den einfachen, auch hier benützten Prin- 
zipien beruhender Form zuerst bei van Vleck (2), Nr. 13. 
