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6. Abhandlung: A. Pringsheim 
der eben erwiesenen Beschaffenheit des obigen Reihen -Quotienten 
könnte noch nicht einmal gefolgert werden, daß das Funktions- 
Element 9 9 (a, ß, 7, x) eine eindeutige Funktion definiert. 1 ) Das 
fragliche Resultat läßt sich aber in folgender Weise erschließen. 
Setzt man in (2): ß = 0 und beachtet, daß cp ( a , 0, 7, q, x) = 1 
wird, so folgt, wenn man noch 7 statt 7+1 substituiert: 
( 4 ) cp{a,\,y.q,x) = 1 -{-£ 
; (1— g“)...(l— 3“+”-') 
T v_f 1 a > X 
~Li’ 1 
( 5 ) 
a> 2 u = — 3 " “ 1 
1 (1— 2 J ')...(1— qr+ v ~') 
(1 — 2 a +' ! *~')(l — q?+e _2 ) 
(1 — qy+ 2u ~ 3 ) ( 1 — g/+ 2 .“- 2 ) 
ao fl + 1 =r . 
( i-g*0 (i— g y ~ g+/ 0 
( 1 — qy+ 2 t‘- 2 ) (1 — qy+^- ] ) 
G* = 1 , 2 , 3 ...), 
so daß also auch 9? (a, 1, 7, 9, x) eine eindeutige, im Endlichen 
bis auf Pole reguläre Funktion definiert. 
Das gleiche gilt dann aber offenbar von dem aus cp (0,1,7, 3 ,^) 
durch die Substitution a= ß, 7 = 1 hervorgehenden Funktions- 
Elemente: 
* n fl _/»£+»'— b 
(6) „(Al, + V-ö -ü-.-d-rt 
und da die Multiplikation der Koeffizienten gleich hoher Po- 
tenzen der Reihen ( 4 ) und (6) die Koeffizienten von cp (a, ß, 7, q, x ) 
liefert, so folgt aus einer Bemerkung des Herrn Borei 2 ) zu 
einem bekannten Hadamar dsclien Satze 3 ) über den Zusammen- 
hang der Singularitäten der durch drei Funktions-Elemente 
von der Form '^.A,.x'\ 1 jB v x v , ^LjA r B,.x r definierten analy- 
tischen Funktionen, daß auch <7 (a, ß, 7, 9, x) eine eindeutige, 
im Endlichen bis auf Pole reguläre Funktion definiert. 
3 . Nachdem die Natur der fraglichen Funktion so weit 
bestimmt ist, läßt sich Lage und Ordnung der Pole durch die 
b So ist z. B. - n <l ^ X eine ganze transzendente Funktion, obschon 
sin b\x 
Zähler und Nenner einzeln genommen zweiwertige Funktionen sind. 
2 ) Bull. soc. math. de France 26 (1898), p. 241, 247. 
3 ) Acta math. 22 (1899), p. 55. 
