Über gewisse limi tür-periodische Kettenbrüche. 
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dem Kreise mit dem Radius 
muß, F (a, ß, y 
1 
sich ganz analog verhalten 
1, ö -\- 1, q 2 x) daselbst noch konvergiert, so 
folgt aus Gl. (10) zweitens, daß die Stelle x = — den nächsten 
Pol (außer x = 1) für <I> {a, ß , y , <3, x) liefert und zwar wiederum 
als einen solchen erster Ordnung. Derselbe kann offenbar 
eventuell fehlen, wenn nämlich der Koeffizient von F(a,ß, 
d -j- 1 ,qx) verschwindet, wenn also: 
( 11 ) q a + q ß = F + q d - 
Da alsdann der Koeffizient des letzten Gliedes von Gl. (10) 
keinesfalls gleichzeitig verschwinden kann, so folgt, daß dann 
mit Sicherheit — als nächster Pol auftreten muß (außer wenn 
r 
a — ß — y — 6, in welchem Falle sich in der Tat ( P (a, ß, y, <3, x) 
® 1 
auf \jvx v , also auf reduziert). Findet die spezielle 
o 1 — % 
Relation (11) nicht statt, so liefert die Anwendung der Formel (10) 
auf (a, ß, y 1, <3 -f- 1, qx) zur weiteren Transformation von 
<P (a, ß, y, d, x) die Beziehung : 
( 11 ) 
= 1 + 
+ 
(l-qx)- < P(a,ß,y 
q s+1 -(- q y+l — q ß — q a 
(l_ s r+ , ) (l_^+ , ) • 
d 1, qx) 
x • <P (a, ß,y-\- 2, (5 + 2, q 2 x) 
q tt Pß — 
X- <P(a, ß, y + 2, t> + 2, q’x), 
an welche sich dann wieder die analogen Folgerungen knüpfen 
lassen, wie an Gl. (10). Durch Fortsetzung dieser Schlußweise 
ergibt sich also : 
Die durch das Funktions-Element <I> (a, ß, y, (5, q, x), also 
im Falle ö = 1 durch die Heinesche Reihe cp (a, ß, y, q, x) 
definierte, in der ganzen Ebene eindeutige, analytische 
Funktion besitzt außer dem einfachen Pole x—\ nur 
noch gleichfalls durchweg einfache Pole aus der Reihe 
der Zahlen 
(v = 1,2,3...). 
