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6. Abhandlung: A. Pringsheim 
Hieraus folgt, daß F (a, ß , y, d, q , x ) durch Multiplikation 
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mit dem konvergenten Produkte (1 — q'x) in eine ganze 
o 
transzendente Funktion übergeht (welche für diejenigen Stellen 
die infolge besonderer Beschaffenheit der Zahlen a, ß, y, <5 
nicht Pole von F (a, ß, y , d, q. x ) sein sollten, verschwinden würde). 
Da aber andererseits: 1 ) 
sc ec _$(v — l)-v 
1 ’ (1 - fx) _ 1 + » (- Ijr . 
so lassen sich die Koeffizienten c r jener ganzen transzendenten 
Funktion unmittelbar aus der Gleichung bestimmen: 
« I <*> ( IV. „!(>■ — O* 
( 1 2) c r x v =F(a,ß,y,d,q,x)-h -f j ^ 
und man gewinnt also auf diese Weise für die durch F(a,ß,y,d,q,x) 
(speziell auch durch 95 (a, ß, y, q , x)) definierte analytische Funk- 
tion eine, gerade so wie die Kettenbruch -Darstellung für 
<p (a, ß , y, x), in der ganzen Ebene gültige Darstellung durch den 
Quotienten zweier ganzer transzendenten Funktionen: 2 * * ) 
Z"CyX y 
(13) F(a,ß,y,d,q,x) = 5 , 
(1 — q r x) 
0 
wo : 
b Euler, Introductio in analysin infinitorum (Lausanne 1748), T. I, 
Cap. XVI, p. 259. — Weitere Literatur s. Enzyklopädie der math. Wissen- 
schaften, I, 1, p. 116, Fußn. 320. 
2 ) Eine mit Gl. (13) im wesentlichen gleichwertige Relation findet 
man in der oben zitierten Abhandlung des Herrn Thomae (a. a. 0., 
p. 275 (22). Es ist das gerade die in der Einleitung erwähnte Formel, 
aus welcher erschlossen werden kann, daß die Heinesche Reihe eine 
eindeutige analytische Funktion mit lauter einfachen Polen von der 
Form 
(v — 0, 1, 2 . . .) definiert. 
