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G. Abhandlung: A. Pringsheim 
§ 4. Der Fall lim a v — «, wo a > 0. — Der Poincaresche Satz. — 
v r= ao 
Der Gausssche Kettenbruch und die hypergeometrische Reihe. 
~ CL (X CC * 
1. Besitzen die Teilzähler des Kettenbruches , -2j— 
einen von Null verschiedenen Grenzwert a, so gehört der 
Kettenbruch derjenigen Klasse an, die ich als (eingliedrig) 
limitär-periodisch bezeichne, da ein solcher Kettenbruch offen- 
bar im Unendlichen näherungsweise wie der periodische Ketten- 
bruch ( yY ff- -f- • • • sich verhält. 1 ) Das Vorbild für die 
Behandlung eines solchen Kettenbruches wird also zweckmäßig 
dieser letztere liefern. Zähler und Nenner der Näherungs- 
brüche genügen hier der gemeinsamen Rekursionsformel 
o O o 
(1) -D. -h — D r — axJDy - 1 = 0 (v = 1, 2, 3 . . .), 
deren Auflösung sich in folgender Weise bewerkstelligen läßt. 
Bestimmt man zwei Zahlen z und z‘ derart, daß: 
(2) z z‘ = 1, zz‘ — — ax, 
mit anderen Worten, bezeichnet man mit z und z‘ die Wurzeln 
der quadratischen Gleichung: 
(3) y* — y — ax = 0, 
wo z \ > z‘ sein soll, sofern die Wurzeln dieser Gleichung 
überhaupt verschiedene absolute Beträge besitzen, so läßt sich 
die Rekursionsformel (1) auf die Form bringen: 
Dy . p 1 (z -f- Z ) Dy -j~ ZZ' Dy - 1 = 0, 
anders geschrieben : 
(4) D r+ i — zDy = z‘(Dy — zDy-]), 
q Der im vorigen Paragraphen bereits erledigte Fall lim a v = 0 
V = 00 
nimmt offenbar von vornherein eine Ausnahme-Stellung ein, da der ent- 
sprechende periodische Kettenbruch identisch Null wäre. Dieser be- 
sondere Fall scheidet also für das folgende definitiv aus. 
