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6. Abhandlung: A. Pringsheim 
Auch kann B m -\-(B m — • o,„ in keinem Stücke 
des Bereiches T‘ identisch verschwinden. Denn da der Be- 
reich T‘ ein zusammenhängender ist, so mühte in diesem Falle 
die eindeutige analytische Funktion B m -f- ( B, n — z m B m _ i) • o,„ 
in dem gesamten Bereiche T‘ identisch verschwinden, was 
definitiv ausgeschlossen ist, da nach dem Hauptsatze des § 2 
(p. 22) bereits feststelit, daß der Kettenbruch für I x I < - — — — r 
— 4 a -f- o 
im wesentlichen gleichmäßig konvergiert, also lim mit 
eventueller Ausnahme einer endlichen Anzahl von Stellen be- 
stimmte, von Null verschiedene Zahlen vorstellt. 
Da endlich B m — i, B m ganze rationale Funktionen von x, 
z m eine in T‘ endlich bleibende gebrochene rationale Funk- 
tion, o,„ eine gleichmäßig konvergente Reihe ebensolcher Funk- 
tionen, so ist B,„ + ( B, n — z m B m _ i) • o„, eine in T‘ eindeutige 
analytische Funktion regulären Verhaltens, kann also daselbst 
höchstens eine endliche Anzahl gewöhnlicher Nullstellen besitzen. 
Somit definiert lim ” eine in T' bis auf etwaige Pole 
n = oo 
reguläre analytische Funktion, und man gewinnt daher das 
folgende Endresultat : 
Ist lim a v = a, tco a > 0, so konvergiert der Ketten- 
bruch 
mit eventueller Ausnahme einer end- 
flj a v x 
T* r 
liehen Anzahl außencesentlicher Divergenzstellen, in jedem 
Bereiche T‘ im Innern des Bereiches T, welcher entsteht, 
wenn man in der Ebene einen geradlinigen Schnitt in der 
Eichtling des Strahles ^0, — vom Punkte — ins 
Unendliche führt. Er definiert eine im Innern von T eindeu- 
tige, bis auf etwaige Pole 1 ) reguläre analytische Funktion. 2 ) 
H Hiermit ist schon gesagt, daß die Pole keine im Innern von T 
gelegene Häufungsstelle besitzen können, wohl aber auf dem Schnitte 
1 
(- 
4 a' 
2 ) Ich bemerke, daß der betreffende Kettenbnich an der Grenze 
