Über gewisse limitär-periodische Kettenbrüche. 
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6. Ehe wir dieses Ergebnis auf den Gaufäschen Ketten- 
bruch und die hypergeometrische Reihe anwenden, soll noch 
gezeigt werden, wie aus den hier angestellten Betrachtungen 
eine vollständigere und präzisere Form des in der Einleitung 
erwähnten Poincar eschen Satzes sich ergibt. 
Aus Gl. (30) folgt zunächst: 
(33) 
Dn + I 
D„ 
?n+\ • 
D m -j- ( I)m &m — i ) • O m n | 
IKn | ( 7 h/: & in D m — l) * ^ in, n 
und hieraus für lim n = oo (wegen : lim a,„, „ = lim o m n+1 = a m ): 
n = oo u — oo 
(34) lim = 2 
n = oo Un 
x — — -r~ noch konvergieren kann. So ist z. B. der Kettenbruch : 
4 (l 
K(x) = 
1 — v^x 
3 4 r 2 — 1 
1 ’ 1 
für welchen a — — * also — = 1, noch konvergent für x — 1. 
4 4 a 
Dies folgt, wenn man ihn in die Form setzt: 
unmittelbar aus einem früher von mir abgeleiteten Konvergenz-Kriterium 
(Sitz.-Ber. 35 (1905), p. 372, III). Sein Wert kann leicht mit Hilfe der 
Transformation bestimmt werden : 
n-f- 1 
woraus sich ergibt: 
T v Li’av + iJ/ 
also : K( 1) = 1. 
Übrigens hat man allgemein (s. Gauß, Werke, Bd. 3, p. 136): 
2 V x 
x K (x) = 1 
lg 
1 -\-Vx 
Vx 
lim K[x) — 1. 
X = 1 
also auch : 
