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6. Abhandlung: A. Pringsheim 
Es existiert also stets ein und nur ein ganz spezieller Wert 
” > — ’, d. h. schließlich eine ganz spezielle Wahl des Anfangs- 
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wert-Verhältnisses , bei welcher jener singuläre Fall nicht 
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nur eintreten kann, sondern auch wirklich allemal eintreten muß. 
7 . Setzt man, wie üblich: 
( 39 ) F(a,ß,y,x) = 1 + 2 } 
l 
a...(a + r — 1) • ß. . . (ß + r— JL) 
7 ... (7 + v — 1) . 1 . . . v 
so besteht für den Quotienten zweier solcher hypergeometrischer 
Reihen, wie Gauß 1 ) lediglich rein formal abgeleitet hat, eine 
Kettenbruch-Entwickelung von der Form: 
( 40 ) 
wo : 
( 41 ) 
F(a,ß + l,y +l,aQ 
F (a, ß, 7, x) 
1 a,.x 
V f 
( a + ,« — 1) (?' — ß + H — 1 ) 
{y + 2 fl — 2) (7 -F 2 fl — 1) 
(ß + h) (r — « + g) 
(7 + 2fi — 1) (7 f 2 fi)’ 
Da hiernach lim a r — + so folgt zunächst, daß der 
V = oc 
Kettenbruch für x <1 — d im wesentlichen gleichmäßig kon- 
vergiert und sein Wert mit demjenigen des fraglichen Reihen- 
Quotienten übereinstimmt: sodann aber, daß, abgesehen von 
der Strecke, (r 1 , + 00) der reellen Achse und etwaigen iso- 
lierten Stellen eigentlicher Divergenz die im wesentlichen gleich- 
mäßige Konvergenz des Kettenbruches bestehen bleibt, so daß 
also als analytische Fortsetzung jenes Reihen-Quotienten eine 
nach Einführung des Schnittes (-RI, + 00 ) eindeutige und 
abgesehen von etwaigen Polen im Endlichen reguläre Funk- 
tion erscheint. 
Diese Eigenschaft bleibt wiederum bestehen, wenn speziell 
ß = 0 gesetzt und somit F(a, ß, 7, x) = F (a, 0, y,x) = \ wird, 
d. h. sie gilt für die Reihe: 
i) Werke, Bd. 3, p. 134. 
