Über gewisse limitär-periodische Kettenbrüche. 
51 
(42) 
F(a, 1, 
X)=l+ £* 
1 
a. ...(« + v — 1) _ 
y . . . (y + v — 1) 
Es läßt sich aber zeigen, daß die letztere lind ebenso die 
allgemeine hygergeometrisclie Reihe in Wahrheit überhaupt 
keine Pole (abgesehen von x — 1) besitzen kann. Man hat 
nämlich : 
(43) F(a, \,l,x)=l+£* a --- - i a + y ~ - ) * = (1 - x)~«, 
i i ... v 
und diese Funktion hat lediglich die singulären Stellen x = 1 
und x = oo . Betrachtet man nun die Reihe mit den rezi- 
proken Koeffizienten, also: 
(44) 
F (1 , 1 , a, x) = 1 -)- Xh - 
i « 
1 . . . v 
.(a + v — 1) 
x\ 
so kann deren analytische Fortsetzung keinesfalls irgend einen 
von 1 verschiedenen Fol x' haben. Denn nach einer von 
Herrn Faber 1 ) herrührenden Ergänzung zu dem oben bereits 
benützten Hadamardschen Satze (§ 3, Nr. 2, p. 28) müßte 
dann mit Notwendigkeit x'-l, also x‘ , eine singuläre Stelle 
für diejenige Funktion sein, welche durch Multiplikation ent- 
sprechender Koeffizienten von _F(1, 1, a, x) und F (a, 1,1,#) 
® 1 
zu Stande kommt, d. h. der Funktion 1 -f- 2 j v x v = . 
i 1 — x 
Und da andererseits die Fortsetzung von _F(l,l,a, x) nach 
dem oben bereits gefundenen Ergebnis außerhalb des Schnittes 
(1, oo) andere Singularitäten, als Pole nicht besitzen kann, so 
muß sie daselbst geradezu regulär sein. Schreibt man in der 
Reihe (44) y statt a, so folgt nunmehr durch Kombination 
mit F(a, 1,1, x) (s. (43)) und der ganz analog beschaffenen 
Reihe 2^(1, ß, 1, x) — (1 — x)~P, daß auch die Fortsetzung der 
allgemeinen hypergeometrischen Reihe F ( a , ß, y, x) außerhalb 
des Schnittes (1, oo) durchaus regulären Verhaltens ist. Daß 
sie tatsächlich (im ersten Blatte) überhaupt nur die singulären 
Stellen x = 1 und x — oo (dazu eventuell noch in anderen 
Ü Jahrb. der D. M. V. 16 (1907), p. 298. 
