52 6. Abh.: A. Pringsheim, Über gewisse limitär-period. Kettenbrüche. 
Blättern x = 0) besitzt, 1 ) wie auf andere Weise z. B. durch 
Heranziehung der zugehörigen linearen Differentialgleichung 
2 ter Ordnung erkannt wird, dürfte auf dem hier eingeschlagenen 
elementaren Wege nicht festzustellen sein : immerhin scheint 
mir nicht ohne Interesse, daß derselbe ausreicht, um die Natur 
der hypergeometrischen Funktionen wenigstens in dem hier 
gegebenen Umfange zu ergründen ; wie man denn wohl über- 
haupt in der großen Einfachheit der Hilfsmittel, welche hier 
u. a. den Konvergenz-Beweis für den Gaußschen Ketten brach 
geliefert haben, wenn man sie mit der Schwierigkeit des Rie- 
mannschen 2 ) Beweisfragmentes und den recht mühsamen 
Konvergenz -Untersuchungen des Herrn Thome 3 ) vergleicht, 
einen gewissen Fortschritt wird erblicken dürfen. 
') Während die Heinesche Reihe cp (a, ß, y, q, x) eine eindeutige 
Funktion definiert, so liefert die Gaußsche Reihe F(a, ß, y, x), von 
speziellen Fällen abgesehen, stets eine mehrdeutige oder unendlich viel- 
deutige Funktion. Läßt man F(a, ß, y, x) durch den Grenzübergang 
lim q = 1 aus q? (a, ß, y, q, x) entstehen, so erzeugen also die unendlich 
vielen in den Punkt 1 hineinrückenden Pole von der Form — an jener 
qr J 
Stelle einen Verzweigungspunkt. Diese eigentümliche Erscheinung dürfte 
wohl eine passende Erklärung finden, wenn man das Verhalten von 
g> (a, ß, y, q. x) als Funktion der beiden Veränderlichen x und q ins 
Auge faßt. 
Der Grenzfall lim F 
a = oo 
Reihe (insbesondere für ß — y die Exponentialreihe), für deren Ketten- 
bruch-Entwickelung, wie unmittelbar aus Gl. (41) entnommen werden 
kann, die Beziehung lim a v — 0 besteht. Der betreffende Kettenbruch 
V — 00 
liefert eine beständig konvergierende 
muß dann zunächst nach § 3 in jedem endlichem Bereiche mit einzigem 
Ausschluß etwaiger Pole der Funktion konvergieren. Und da diese 
letzteren infolge der beständigen Konvergenz der erzeugenden Reihe 
gänzlich fehlen, so konvergiert er, abgesehen von x = co , ausnahmslos. 
2 ) Werke, Abh. XXIII (erste Aufl. 1876, p. 400). 
3 ) Journ. f. Math. 66 (1866), p. 322; 67 (1867), p. 299. 
