Über die Verbiegung geodätischer Netze. 
5 
Also besteht zwischen E und G eine Beziehung von der 
Form 
E » [?» — W x (»)] = G h [<Z>0) — <P X («)]. 
Da man aber durch Einführung einer neuen unabhängigen 
Veränderlichen ü = f(u) das Linienelement der Parameter- 
kurven u = const um einen beliebigen, von u allein abhängigen 
Faktor ändern kann, und ähnliches für die Kurven v — const 
bezüglich v gilt, geht die vorige Bedingung bei geeigneter 
Wahl der unabhängigen Veränderlichen in die einfache Gestalt 
E=G 
( 3 ) 
über. Es ergibt sich also der Satz : 
Soll ein geodätisches Netz überhaupt eine Ver- 
biegung zulassen, bei der es geodätisch bleibt und bei 
der nicht die Fläche, auf der es liegt, unter Konstanterhal- 
tung des Linienelementes mitverbogen wird, so müssen — 
bei geeigneter Wahl der Parameter — seine sämt- 
lichen Maschen Rhomben sein. 
Die bloße Gleichsetzung der beiden Ausdrücke (2) für F 
hätte die Bedingung dafür ergeben, daß ein beliebiges Netz 
mit den Linienelementen V~j E du und VGclv der Netzkurven 
in ein geodätisches Netz verbogen werden kann. Man findet, 
wenn die willkürlichen Funktionen \p (v) und cp (u) zu den 
Integralen genommen werden, aus (2) die Bedingungsgleichung 
(2 a) 
aus der sich durch je zweimalige Differentiation nach u und v 
und Elimination leicht eine wenig übersichtliche Differential- 
gleichung zweiter Ordnung ableiten läßt. 
Es gibt also im allgemeinen keine liniengleiche 
Deformation, welche ein beliebig gegebenes Netz in 
ein geodätisches Netz überführt. Nur wenn die Glei- 
chung (2a) erfüllt ist, gibt es ein und nur ein geodä- 
tisches Netz, das aus dem gegebenen durch Ver- 
