Über die geodätische Verbiegung des Netzes. 
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thogonalsystems konstante Summen oder Differenzen 
haben, sind gerade die Kurven des Netzes. 
Es ist nun noch die Frage zu lösen, ob jedes Netz, welches 
den Bedingungen des obigen Satzes genügt, in der Tat ver- 
biegbar ist. Hiezu muß untersucht werden, ob es möglich 
ist, ein gegebenes Liouvillesches Linienelement 
w + j; Cu» (dP + d , «*) 
auf die Form (5 a) 
d s 2 = (cp x (a) + cp 2 (ß)) (<p x (a) d a 2 + <p 2 ( ß ) d ß 2 ) 
zu transformieren. Die Möglichkeit dieser Umwandlung bängt 
von dem gleichzeitigen Bestehen folgender vier Gleichungen ab : 
o o O o 
F x (<i) — cp l {a) d ?. 2 — <p, (a) d a 2 
F t 0) = V> 2 (£) — * d ! F = V 2 Ü 5 ) d ß 2 - 
Dabei bedeutet *: eine Konstante. Die Transformation 
bängt nur von der Auswertung der durch die Gleichungen 
dp = (F x (A) — x)da 2 , dpi 2 = (F 2 (fi) -j- x)dß 2 
gegebenen Integrale ab, und ist wegen der Konstanten v. auf oo 
viele Weise möglich. 
Führt man wieder den Winkel °^r ein, welchen eine geodä- 
tische Linie mit einem geodätischen Kegelschnitt bildet, so ist 
also 
( 7 ) 
Vi 
<Pi + <P% 
■ 2 0) 
sm ~ 
U 
Fi 
<P\ + 
^1 + ^2 
F-i (f) + * 
~F X + F t ’ 
f „2 " _ F M + * 
° 2 J’.W-x’ 
Diese Gleichung gestattet, zu jeder Konstanten * einen 
Winkel co zu finden. Es gibt also auf jeder Liouville- 
schen Fläche oc l geodätische Netze, die verbiegbar 
sind und die alle das nämliche System geodätischer 
Ellipsen und Hyperbeln zu Diagonalkurven haben. 
