Über die Verbiegung geodätischer Netze. 
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geodätischen Ellipsen und Hyperbeln sind dann Kurven von 
Spitzen oder Selbstberührungspunkten der geodätischen Linien 
sämtlicher Netze. In allen Punkten dieser Kurven ist nach 
(6) ds 2 =oo, was außer in etwaigen besonderen Punkten der 
Fläche in ihrer unendlich fernen Kurve der Fall ist. 
Bei den Rotationsflächen als speziellem Fall der Liou- 
villeschen Flächen ist eine der F unktionen F 1 (A) oder F 2 (/u) 
eine Konstante. Die Euveloppe eines geodätischen Netzes be- 
steht also nur aus einem oder mehreren Parallelkreisen von 
gleichem Radius, und kann reell oder imaginär sein. Während 
zu jedem Parallelkreis als Euveloppe ein anderes geodätisches 
Netz gehört, ist die Spitzenkurve sämtlicher Netze nach dem 
Clairautschen Satz der oo ferne Parallelkreis. 
In der Ebene sind die einzigen Kurvensysteme mit Liou- 
villeschem Linienelement die Systeme konfokaler Ellipsen und 
Hyperbeln mit einigen Spezialfällen (konfokale Parabeln, kon- 
zentrische Kreise und Geradenbüschel). Zu jedem konfokalen 
System gehören oo 1 von Geraden gebildete Rhombennetze, 
deren sämtliche Gerade eine reelle Ellipse oder Hyperbel des 
konfokalen Systems berühren. Den Übergangsfall bildet das 
bekannte Rhombennetz, dessen beide Geradenscharen die durch 
die beiden Brennpunkte gehenden Strahlenbüschel bilden. 1 ) 
Ein ebenes geodätisches Rhombennetz ist in der Ebene 
selbst starr, 2 ) kam aber bekanntlich in das Netz der gerad- 
linigen Erzeugenden eines einschaligen Hyperboloids verbogen 
werden. Die Diagonalkurven dieses Netzes, die Krümmungs- 
linien der Fläche zweiter Ordnung bilden also ein System 
geodätischer Ellipsen und Hyperbeln, was auch aus dem Linien- 
element ersichtlich ist. Es gibt also auf jeder Fläche zweiter 
Ordnung oo viele deformierbare geodätische Netze ; jedes von 
ihnen hat zwei symmetrisch gelegene, reelle oder imaginäre 
*) Vgl. S. Finsterwalder, Mechanische Beziehungen bei der Flächen- 
deformation. Jahresbericht der deutschen Mathematiker -Vereinigung, 
6. Bd., 1897, pag. 55, 56. 
2 ) Ausgenommen ein von zwei Scharen paralleler Geraden ge- 
bildetes Netz. 
