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12. Abhandlung: E. Stübler 
p = Xx -f- Yy -)- Zs 
Q. = | O 2 + V 2 + s*) 
ist. Sieht man x y s als Funktionen von p und q an, so liefert 
die erste Gleichung von (6) und (7): 
dx 
dp 
Deshalb ist 
dx 
dp 
3y 
— Q 
dX 
dq 
P, p„ 
aX 
dq 
dY 
dp ~ Ql d q 
(8 a ) = - 
ds 
dZ 
d p Ql Qi d q 
d X \ 
Yp) 
dX 
dq 
- 0. 
dx dX , , ,aX 
— — (o, p 9 ) 
dq dp dq 
/OL x dy a Y . . ,al 
(8 b) — — (o. — J— o.j) 
v ’ dq dp Vvl 1 dq 
dzdZ dZ 
— = (o. pj — , 
dq dp dq 
wo p, und o 2 die beiden Hauptkrümmungsradien bedeuten. 
Diese Formeln sind von Weingarten und nach ihm von 
Goursat und Darboux zur Herstellung von Biegungsgruppen 
verwendet worden. 
So liefern die auf der linken Seite stehenden Formeln, 
sobald man das allgemeine Integral der Differentialgleichung 
P 
Ql °2~ Q 
kennt, wo P eine beliebige Funktion von p , Q eine solche 
von q sein soll, die vollständigen Differentiale: 
dg = PXdp Qxdq 
dq — P Ydp -)- Qy dq 
dg = P Z dp -f Qsdq 
und damit alle Flächen, für welche das Quadrat des Linien- 
elements : 
da 2 = P 2 dp 2 -j- 2 P Qp dpdq -j- 2 Q*qdq 2 . 
Dies soll angewendet werden auf die Differentialgleichung: 
G 
Qi pi ’ 
( 9 ) 
