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M. Lagally 
zeicbnungsweise für Dyaden- und Triadensummen, insbesondere 
mit symbolischen Operatoren, konsequent, kurz und eindeutig 
durchzubilden. Um die Verwendbarkeit der angewandten Me- 
thoden an einem weiteren Beispiel zu zeigen, habe ich anhangs- 
weise damit eine kurze Ableitung der Cayley-Darbouxsclien 
Gleichung gegeben. Diese Gleichung, die Bedingung dafür, dali 
eine Flächenschar einem dreifachen Orthogonalsystem angehört, 
hängt mit den vorausgegangenen Untersuchungen nur insofern 
zusammen, als darin die Frage nach den dreifachen Orthogonal- 
systemen von Potentialflächen aufgeworfen und mit gewissen 
Einschränkungen auch beantwortet wurde. 
I. Bedingung für die Existenz einer zu zwei gegebenen Flächen- 
scharen orthogonalen Flächenschar. 
Wenn zwei Flächenscharen 
v(xy z) = const und iv(xyz) = const. 
eine gemeinsame Schar von Orthogonalflächen u(xyz ) = const. 
haben, bestehen gleichzeitig die beiden Gleichungen 
dUdV du dv du dv 
dxdx dydy dz dz 
du d IV du d IV dudw 
dX dX dy dy dZ dZ 
0 = grad u • grad v — 0 
0 == grad u • grad w — 0 . 
Aus ihnen lassen sich die partiellen Differentialquotienten 
von u durch die von v und w ausdrücken: 
dV dV dV 
dU 
3 u 
dU 
dX dy dz 
dX 
3y 
dz ~ 
d lü d IV d IV 
dX dy dz 
Führt man Vektoren ein und bezeichnet mit Q{xyz) einen 
skalaren Proportionalitätsfaktor, so ist 
i i t 
dv dv dv 
.dU , . d'H , t dU . . — — — 
l dx + l dy + l dz ~ Q(Xyz) dX dy 
d IV d W d W 
dX dy dZ 
