Systeme von Potentialflächen und Stromflächen. 
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Durch Einführung von w‘ läßt sich also grad« in folgende 
Form bringen: 
grad u = " ^ V ' ^ grad v X grad iv‘ . 
° dw‘ ° ö 
dW 
Durch geeignete Wahl der Funktion w' kann man dem 
Faktor ' - den Wert 1 geben; hiezu hat man nur 
dtv ° 
dtv 
w‘ — j gdtv -)- <P(v) 
zu setzen, wo <P(v) eine willkürliche Funktion von v bedeutet. 
Läßt man nun den Strich (') wieder weg, so gilt die Gleichung 
V« = Vv X Vmj 
5 ) 
grad u = grad v X grad w , 
ausführlich geschrieben: 
dV dV 
dV dV 
dV dV 
dy dz 
d U 
dz dX 
du 
dx dy 
div dtv 
dy = 
dW dW 
dz ~ 
dW dW 
dy dz 
dZ dX 
dx dy 
In diese einfache Form (5) läßt sich der Gradient 
eines jeden Potentials u bringen, v und tv sind zwei 
Scharen von Stromflächen, von denen die eine vollständig will- 
kürlich gewählt werden kann; die andere ist dann durch eine 
Quadratur bestimmt, aber immerhin noch von der Mannigfaltig- 
keit einer Funktion einer Veränderlichen. Die Integrabili- 
tätsbedingung nimmt folgende Gestalt an: 
6) curl [grad v X grad zfj = 0 ; V X [V r X Vw] = 0 
oder 
V 2 v -S7w — V 2 w ■ Vv -j- A 2 tvS7v — A 2 vS7w = 0. 
Zwei Scharen von Stromflächen, die der Gleichung (6) ge- 
nügen, sollen als normierte Scharen bezeichnet werden. Es 
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