Systeme von Potentialflächen und Stromflächen. 
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also nur vom Parameter der Stromlinien abhängig, und kann 
bei geeigneter Verteilung der Stromlinien konstant im ganzen 
o o o o 
Raum angenommen werden l ). 
Die eben besprochene geometrische Eigenschaft der nor- 
mierten Scharen von Stromflächen ermöglicht es, alle drei- 
fach orthogonalen Systeme von Potentialflächen auf- 
zusuchen, welche Rotationssymmetrie besitzen, d. h. 
ein Ebenenbüschel enthalten. Dann werden die beiden anderen 
Flächensysteme in den Meridianebenen zwei orthogonale Kurven- 
scharen ausschneiden, deren jede sowohl der Potentialgleichung 
der Meridionalströmung 
3 2 u d 2 u 1 du 
3 £ 2 ' dr 2 r dr ~ 
als auch, in anderer Verteilung, der Stokesschen Differential- 
gleichung der Stromlinien 
d 2 V d 2 V 1 dV 
dz 2 dr 2 — r 3 r 
genügen muh; dabei ist v eine noch unbekannte Funktion von u. 
cl V ÖP“ V 
Die zweite Gleichung wird also, wenn — — v‘ und - - = v“ 
gesetzt wird, 
3 2 u 3 2 u\ 
dz 2 ' d r 2 ) 
+ 
+ 
/ 3 m \ 2 \ v' du 
\3ry J r 3 r 
Durch Elimination von mittels der ersten Gleichung folgt 
3r ° ° 
Diese Gleichung kann als Transformierte der ebenen Poten- 
tialgleichung aufgefaht werden: denn setzt man f]/' v‘ (u)du — 
so nimmt sie die Gestalt 
Vgl. R. v. Mises, Theorie der Wasserräder, Zeitschrift für Mathe- 
matik und Physik, 57. Bd., 1909, S. 1 f. Weitere Literatur in der S. 158 
zitierten Abhandlung. 
