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M. Lagally 
Da nach (1) 
V« = g } Vv X Viv, Vv = g 2 V w X Vu, V w = p s Vu X S7v 
ist, nimmt die Bedingung (3 a) für das Vorhandensein einer 
gemeinsamen orthogonalen Schar die Form 
V 2 w 'S7v ■ Vu = 0 
an neben 5 weiteren Gleichungen, die sich aus ihr durch Ver- 
tauschung von u. v, w ergeben: davon sei eine hervorgehoben: 
II) V 2 u • S7 v • Vw = 0 . 
Diese Gleichung hätte aus 
I) V v • V w — 0 
auch durch Anwendung eines besonderen skalaren Operators 
Vu • V 
erhalten werden können. Bringt man ihn an irgend einem 
vektoriellen Produkt <P • F an, so ist 
Vu • V(F> • F) = (Vu -V (Vu • V F). 
Wenn er insbesondere auf einen Ausdruck zur Anwendung 
kommt, der v und w nur in der Verbindung Vv und Vw ent- 
hält, so wird wegen (15) die Ordnung der Differentialquotienten 
von v und tv nicht über die erste erhöht 1 ). 
Aus (I) erhält man hienach 
V u • V (V v • V tv) = ( V • V 2 v) ■ Viv -p V v ■ (Vu ■ V 2 w) = 0, 
also nach (15) 
— (Vv • V 2 u) • V iv — Vv ■ (V 2 u • Vw) = 0 
oder 
II) V 2 u • Vv • Viv = 0, 
’) Sachlich ist der Operator V « • V schon bei Cayley vorhanden. 
Seiner konsequenten Anwendung verdankt Darboux die große Verein- 
fachung der Ableitung, die er erzielt hat. Cayley, Sur la condition pour 
qu’une famille de surfaces donnee puisse faire partie d’un Systeme triple 
orthogonal. Collected mathematical Papers Bd. VIII. Darboux, Le^ons 
sur les systemes orthogonaux, Chap. I. 
