Systeme von Potentialflächen und Stromflächen. 
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wenn man berücksichtigt, daß Produkte aus einem Vektor und 
einer symmetrischen Dyadensumme kommutativ sind. Wendet 
man nun V« • V auf (II) an, so folgt 
(Vit • V 3 it) • Vr • Vic -p V 2 it • (Vit • V 2 u) • V w 
-p V 2 it • V« • (Vit • V 2 it) = 0 x ) 
oder nach (15) 
III) (Vit • V 3 tt — 2 V 2 w • V 2 tt) • Vv ■ Vic = 0. 
Die 5 Gleichungen (I), (II)) (III), von denen zwei in v 
bzw. w linear, die anderen bilinear sind, genügen zur Elimi- 
nation von 
dv dV d V die d IV d W 
dx' dy' dz' dx ' dy' dz' 
Es sind dieselben, die Darboux aufstellt. Um die Elimination 
wirklich auszuführen, stellen wir mit Darboux aus den zwei 
linearen Gleichungen 
Vit • Vf = 0, Vit - Vi v = 0 
drei bilineare her: 
I') (Vit • Vf) Vif + (Vit • Vif) Vi; = 0. 
Ausführlich geschrieben haben wir nun folgende Glei- 
chungen : 
I) Vj w 1 + f. 2 ?f 2 -p f 3 if 3 = 0 
| 2u ] v l iv ] -p u 2 (v 1 w 2 + typ) + « 3 ( v i w s + v s w i) = 0 
I') 2 u 2 v 2 iv 2 + «,( v x iv 2 + v t Wj) -P u 3 (v 2 i f 3 + v. A w 2 ) = 0 
l 2 U 3 V 3 W 3 -p Kj (v t w 3 -p v 3 wj -p w 2 (f 2 if 3 + V 3 IV 2 ) = 0 
II) u u v i w \ + V 2 w 2 -p u 33 v 3 w 3 
-p U n (v i ic 2 -P v 2 w 1 ) -p u 3 {v x w 3 -P f 3 lfj) -p u 23 (v 2 w 3 -p V 3 w 2 ) = 0 
III) A x jfj ifj -p A. 22 y 2 %v 2 -p A 33 v 3 u 3 
-P A vl {v x w 2 + v a w,) + A 13 (v jif 3 + v 3 w,) + A 23 (v 2 /c 3 -j- v 3 ic 2 ) = 0. 
*) V 3 u ist eine Triadensumme. 
