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H. Liebmann 
§ 1. Semilineare Differentialgleichungen mit geradlinigen 
Charakteristiken. 
Durch die Untersuchungen von F. Engel 1 ) und einige sich 
daran schließende Arbeiten ist eine bereits früher von S. Lie 
und A. V. Bäcklund in Angriff genommene Frage der weiter- 
gehenden Behandlung zugänglich geworden, die Frage näm- 
lich, ob eine vorgelegte partielle und nicht lineare Differential- 
gleichung erster Ordnung 
F(pc v . . ., x n ,z, p lt . . ,,p n ) = 0 
unterdimensionale Lösungen besitzt. Unter Lösung ist da- 
bei ein Verein von oc" Elementen zu verstehen, der die Dif- 
ferentialgleichung erfüllt; unterdimensional von der r ten Klasse 
heißt die Lösung, wenn aus dem System von Gleichungen zwi- 
schen den Elementkoordinaten, das die Lösung darstellt, durch 
Elimination von p v p 2 , . . .,p n nicht eine einzige Gleichung zwi- 
schen den Punktkoordinaten entsteht, sondern die Anzahl der 
entstehenden Gleichungen r -j- 1 beträgt. Ist r die höchste 
Klasse für eine vollständige Lösung, so bezeichnet man die 
gegebene Differentialgleichung als s e m i 1 i n e a r von der 
r ten Klasse 2 ). 
Die folgende Betrachtung will einen Beitrag zu diesen 
Untersuchungen geben, in dem die Klasse einer gewissen Dif- 
ferentialgleichung mit geradlinigen Charakteristiken bestimmt 
wird. Vorausgeschickt ist die Erweiterung eines schon früher 
aufgestellten Satzes, der die Bestimmung aller Differential- 
gleichungen mit geradlinigen Charakteristiken gestattet. 
I. Partielle Differentialgleichungen mit geradlinigen Charakteristiken. 
Im ( n 2)-dimensionalen Raum hat eine partielle Differen- 
tialgleichung erster Ordnung mindestens oo M +' und höchstens 
go 2 ”-!- 1 charakteristische Kurven. Es soll die Bedingung dafür 
1 ) Eine neue Methode in der Invariantentheorie der Differential- 
gleichungen. Leipz. Berichte 1905. S. 161— 232. Vgl. Math. Enz. 111 D 7, 
Liebmann, Nr. 22. 
2 ) Math. Enz. II A 5, von Weber, Nr. 34. 
