Zur Theorie der Elementvereine. 
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aufgestellt werden, daß diese Kurven gerade Linien sind. Nach 
Engel ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, 
daß die gegebenen Kurven Charakteristiken sind, folgende: 
Unter den Bedingungen, die sich für das Schneiden zweier 
unendlich benachbarten Kurven der gegebenen Schar ergeben 
durch Elimination der Punktkoordinaten, muß sich mindestens 
eine in den Differentialen der Parameter lineare befinden. 
Die Geraden seien jetzt dargestellt durch 
x i = r, £ -}- o, 
Xy i J X -f- 
X n T n X 1 Q n 
z = sx -j- ö 
und speziell die Geradenschar, von der verlangt wird, daß sie 
Charakteristiken einer partiellen Differentialgleichung sind, durch 
die Gleichungen 
/(r„ . . ., r„, s, Oj, . . ., o„, a) = 0 
in Verbindung mit Tt weiteren Gleichungen zwischen den Linien- 
koordinaten; wir fassen die Gleichungen zusammen in die eine: 
1) F (r,, r 2 , . . ., r,„ s, o v . . ., g,„ o ) / + /t,/j . . . -j- hfk = 0 . 
Als Bedingung für das Schneiden ergibt sich dann: 
Jr, 
dF dF\ 
ßr t X 2gJ 
-f- • • • -j- d r „ 
(dF dF\ 
\3r„ 
•j - ds 
= 0 
in Verbindung mit den in F — 0 enthaltenen /c-j-1 Gleichungen. 
Hieraus ergibt sich dann auf Grund des Engelschen Satzes, 
daß alle zweireihigen Determinanten der Matrix 
dFdF 
dF dF 
df u dS 
dF dF 
dF dF 
dQ } d o 2 ' ' 
dg n da 
