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H. Liebmann 
infolge der Gleichungen (1) verschwinden müssen, und dies 
sind im ganzen n — 1c Bedingungen. Ist also die Schar der 
Geraden {n -\- l)-gliedrig, so sind sie von selbst Charakteristiken 
(die zugehörige Differentialgleichung ist dann linear), ist sie 
(2 n -f- 1 ) - gliedrig , so sind n Bedingungen zu erfüllen; da- 
zwischen treten alle Zwischenstufen (0 <! k < n) auf. 
Wir wollen dieses Ergebnis noch geometrisch deuten, in- 
dem wir untersuchen, welche Beschaffenheit ein Komplex von 
(2 n -f- l)-fach unendlich vielen Geraden besitzt, wenn er die 
Bedingung erfüllt. Es wird sich zeigen, daß die Geraden einen 
Tangentenkomplex bilden, d. h. daß sie aus den Tangenten 
einer (n ff- l)-dimensionalen Mannigfaltigkeit des R n . |_ 2 bestehen. 
Zunächst ist zu bemerken, daß die Komplexgleichung 
/ 0 1 1 ^ 2' ' ■ ^ n ’ Pi* • • •? Qnt 0 
sich durch die Substitution 
ri = x'i, Oi = Xi — xx'i (i == 1, 2, . . ., n) 
/ / i 
S = 3 , 0=2 — XZ 
in die Monge sehe Gleichung 
f(x i, . . ., x; n z\ x x — x\ x, . . ., x n — x‘ n x, z — z'x ) = 0 
verwandelt, die zu der zugeordneten partiellen Differential- 
gleichung gehört. Die charakteristischen Streifen werden dann 
bestimmt durch das System von Gleichungen 
dx dxi dz 
und es ergibt sich auf der anderen Seite die partielle Differential- 
gleichung durch Elimination von z‘ , xl, . . ., x'„ aus den Glei- 
chungen 
