370 
H. Liebmann 
Randpunkt P x und das Reststück s u (S u ) der Berandung vom 
Randpunkt P 2 aus erscheint. Die Erklärung verlangt, man 
soll Pj und P 2 sowie die Einteilung des Randes so wählen, 
daß möglichst klein wird. 
Später hat u.a. E. R. Neumann bewiesen, daß in der Ebene 
die Konfigurationskonstante X der Berandung (Randkurve) sich 
bei Inversion (Transformation durch reziproke Radien) nicht 
ändert 1 ) und damit gezeigt, daß die Methoden von C. Neu- 
mann auch noch auf ebene Gebiete anwendbar sind, deren 
Randkurve nicht überall konvex ist. Was dagegen die Kon- 
figurationskonstante einer geschlossenen Fläche betrifft, so 
spricht er die Vermutung aus, daß in diesem Fall ein ent- 
sprechender Satz nicht mehr gilt, fügt aber hinzu, daß diese 
Frage noch nicht endgültig beantwortet sei und begründet „in- 
wiefern diese Untersuchungen im Raum weit größere Schwierig- 
keiten darbieten“ 2 ). 
Im folgenden wird nun der Beweis für diese Vermutung 
erbracht, d. h. es wird gezeigt : 
Die Konfigurationskonstante X' jeder aus einer 
geschlossenen Fläche ( S ) mit der Konfigurations- 
konstanten X durch Inversion entstehenden Fläche ( S ' ) 
ist im allgemeinen von X verschieden. 
Eine Ausnahme von diesem Satz bildet, weil alle zueinan- 
der ähnlichen Flächen dasselbe X haben, selbstverständlich die 
Kugel, die einzige Fläche übrigens, deren Konfigurationskon- 
stante bekannt ist 3 ). 
Es genügt für den Beweis des Satzes, irgend ein Paar von 
Flächen anzugeben, die auseinander durch Inversion hervor- 
o 7 
gehen und deren Konfigurationskonstanten X und X' verschiedene 
Werte haben. Dem stellt sich aber ein Hindernis entgegen. 
So leicht es nämlich ist, für eine einfach gestaltete Fläche das 
gesuchte Minimum /t anzugebeu, so schwer fällt jeder Versuch, 
in aller Strenge den Beweis zu erbringen, daß das unmittel- 
b Math. Annalen 55 (Leipzig 1902), S. 45 ff. 
2 ) A. a. 0., S. 52. 3 ) A. a. 0., S. 39. 
