K. Schwarzschild: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc. 303 
§ 3. Aus der Theorie der Kugelfunctionen. 
Die gewöhnliche Kugelfunction m. Ordnung wurde durch 
P„, oder P M , 0 bezeichnet. Die n. Zugeordnete der Kugelfunction 
tn. Ordnung lässt sich dann definieren durch den Ausdruck: 
P m ,n (cos d) = P m ,„ (x) = ( 1 — x 1 ) 
1 
■ m ! 
(1 — x l ) 
i rl n P 
1\nl 2 1 " 
d x n 
/ln -f m 
Hh l) m . 
dx B + m v ' 
18) 
Zwischen den verschiedenen Zugeordneten verschiedener 
Ordnung bestehen die folgenden drei Rekurrenzen (vgl. F. Neu- 
mann, Beiträge zur Theorie der Kugelfunctionen, Leipzig 1878, 
pag. 74): 
(2m+l)cos#P m „ =[m+l-n)P m+]i „+[m+n)P m -i t n 19) 
(2w+l)sin^P miM _i=P m+ i in -P m _ ]>M 20) 
(2w+l)sin?9P miM +i=(w+l-w)(w-m)P„ l +j i „+(w+l+«)(w+m)P„,_] i , i . 21) 
Man findet mit Hülfe der eben angegebenen Beziehungen 
leicht die nachstehende später zu verwendende Relation: 
(2 m + 1) sin d ^ = wd P m+1>1 - (m + l) 2 Pm — i, i • 22) 
Ferner lassen sich die folgenden Sätze mit Hülfe von 
(18) — (22) aus den bekannten Integraleigenschaften der Kugel- 
functionen ableiten: 
J d d sin d cos d P„ l} i P m \\ = 0 
o 
ausser wenn m — m -f- 1 oder m — m — 1. 
C J n • n 073 73 0 ( M * “F 1) ( m “1“ 2) 
j fl v sm v cos d P m , i Pmg .^1 = 2 • 
0 
(2 m -j- 1) (2 » -f 3) 
j‘ d d sin d cos d P m 0 P m \ o = 0 
o 
ausser wenn m = m -}- 1 oder m — 1. 
J d d sin d cos d P„,, 0 P M + 1 , o = 2 (>>l + ^ 
(2 m + 1) (2 m + 3) 
23) 
24 ) 
