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Sitzung der math.-phys. Classe vom 6. Juli 1901. 
§ 4. Aus der Theorie der Cylinderfunctionen. 
Führt man in der Differentialgleichung (11) für r die 
Variable g — rk ein, so schreibt sie sich: 
d* -ß* ,2 d R ni 
"T t 
clp 2 
p dp 
1 — 
m (; m -j- 1) 
= 0 . 
25) 
Versucht man diese Differentialgleichung durch einen Aus- 
druck der Form e~ iQ ■ S zu befriedigen, wobei S eine nach 
negativen Potenzen von g fortschreitende Reihe sein soll, so 
gelingt dies durch die folgende mit einer endlichen Anzahl von 
Gliedern abbrechende Reihe: 
Aff, = 
j 1) 1 ^ m(m ff- 1) \m (m ff~ 1) — 1-2] 1 
2 ig ' 2 4 
m(m + 1) [w(mff- 1) — 1 -2] [m(m ff- 1)-2-3] 
(io ) 3 
26) 
Eine zweite Lösung der Differentialgleichung, die wir Aff, 
nennen wollen, erhält man natürlich, indem man in diesem 
Ausdruck ff- i mit — i vertauscht. Die allgemeine Lösung 
würde sich dann linear aus Aff, und Aff, zusammensetzen. 
Andrerseits kann man Lösungen von (25) in Form auf- 
steigender Potenzreihen darzustellen suchen und findet dadurch 
die folgenden beiden Funktionen: 
, (»?)*■ ( n (>e) % . (±el , 1 
/m{L) l-3....(2m+-l)\ ' 2(2/nff-3)^ 2-4(2;»ff-3)(2»/ff-5) ' j 
' l* 3....(2wi 1) | (io)» (ig)* | 2 ‘ 
TmKß) (i p) m + 1 \ 2(2 m 1) ' 2-4(2m— 1)(2 j» 3) 
wobei die Coeffizienten des ersten Gliedes in Rücksicht auf die 
spätere Anwendung gewählt sind. 
Auch durch und cp,„ muss sich jede andere Lösung 
von (25) linear darstellen lassen. Führt man dies speziell für 
Aff, aus, so erhält man: 
i 2 ”'+' Aff, (o) = (g) + (- 1)'"+' cp m (o) 
oder: 
