370 Sit zung der math.-phys. Classe vom 9. November 1901. 
so ergibt sich aus den obigen Transformationsformeln sogleich 
die fundamentale Eigenschaft, dass das Doppelverhältnis von 
4 Punkten bei beliebiger KV invariant bleibt, bei beliebiger 
indirekter KV in seinen conjugirten Wert übergeht. 
3. Das Doppelverhältnis von 4 Punkten AB CD ist dann 
und nur dann reell, wenn sie cyclisch (d. h. auf einem Kreise) 
liegen: es ist dann und nur dann von der Form ( ß reell), 
wenn sie orthocyclisch liegen, d. h. wenn durch A, B ein 
Kreis geht, der C von D harmonisch trennt; 1 ) dann geht auch 
durch C und D ein Kreis, der A von B harmonisch trennt. 
Liegen 4 Punkte sowohl cyclisch als orthocyclisch, ohne 
dass zwei derselben zusammenfallen, d. h. ist ihr Doppel- 
verhältnis gleich — 1, so heissen sie liannonisch. Man erhält 
zu 3 Punkten A. B , C den vierten harmonischen D als zweiten 
Schnittpunkt des Kreises ABC mit dem durch C gehenden 
Kreis des Büschels, das A und B zu Grenzpunkten hat, also 
mittels linearer Construktionen. 2 ) 
4. Aus Xr. 1 ergibt sich die euklidische Construktion einer 
durch 3 Paare definirten KV\ eine kreisgeometrische, die nur 
lineare Operationen verlangt, folgt unmittelbar aus dem von 
H. Wiener 3 ) herrührenden Satze, dass man für eine binäre 
Projektivität, von der 3 Paare gegeben sind, zu jedem Punkt 
den entsprechenden lediglich durch wiederholte Construktion 
vierter harmonischer Punkte finden kann. Diese Methode 
überträgt sich ohne weiteres auf jede direkte KV in der 
Ebene; hat man solcherweise für die KV , die durch die Paare 
(3) A\ A \ , Ao Ao , A 3 A 3 
b Dies soll heissen, dass C und I) hinsichtlich des Kreises invers sind. 
2 ) Die linearen Construktionen der Kreisgeometrie sind 1) durch 
3 Punkte einen Kreis zu legen; 2) von 2 Kreisen, die durch einen ge- 
gebenen Punkt gehen, den zweiten Schnittpunkt zu bestimmen. Die 
quadratische Construktion ist die Lösung der Aufgabe, von 2 punktweise 
bekannten Kreisen die Schnittpunkte zu finden. Vgl. E. Study, Math. 
Ann. 49 p. 528. 
3 ) Leipz. Ber. 43 (1891) p. 672. 
