E. v. Weber: Kr eis Verwandtschaften. 
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definirt ist, zu A 4 den entsprechenden Punkt A 4 linear con- 
struirt, so entspricht der zu A 4 hinsichtlich des Kreises 
A 1 A 0 A 3 inverse Punkt 1 ) dem Punkte A 4 in der indirekten 
KV, die durch dieselben 3 Punktepaare (3) bestimmt wird. 2 ) 
5. Wenn für eine KV, die durch (1) definirt ist, die 
Determinante ad — hc— 0 ist, und mit P und Q die Punkte 
mit den Affixen — bezw. — — bezeichnet werden, so ist jedes 
c c 
Punktepaar, das P als zweiten oder Q als ersten Punkt ent- 
hält, ein Paar entsprechender Punkte der Verwandtschaft. 
Diese heisst dann „singulär“, die Punkte P, Q (die auch coin- 
cidiren können) ihre „singulären Punkte“. Analoges gilt für 
die Formel (2); ein Unterschied zwischen direkter und indirekter 
KV findet bei verschwindender Determinante nicht mehr statt. 
Singuläre Verwandtschaften bleiben im Folgenden, wo 
nichts anderes bemerkt wird, stets von der Betrachtung aus- 
geschlossen. 
6. Jede direkte KV besitzt zwei verschiedene oder zu- 
sammenfallende reelle Fixpunkte, deren Affixe z x z 2 die Wurzeln 
der quadratischen Gleichung: 
(4) cz* + (d — a) z — b = 0 
sind. Entsprechen sich in einer direkten KV irgend zwei 
Punkte involutorisch, so ist die Verwandtschaft selbst involu- 
torisch; dazu ist die Bedingung a -f- d = 0 notwendig und 
hinreichend. Eine derartige KV werde eine „Möbiusinvolu- 
tion“ 3 ) genannt; sie ist durch ihre Fixpunkte M l M % eindeutig 
bestimmt und zwar derart, dass jedem Punkt A der zu ihm 
hinsichtlich M x M 2 harmonische Punkt A entspricht. Eine 
Möbiusinvolution ist ferner auch durch 2 Paare entsprechender 
x ) Die Construktion der Inversion an einem punktweise bekannten 
Kreis ist nach E. Study (Math. Ann. 49 p. 530) ebenfalls linear aus- 
führbar. 
2 ) Nach Nr. 26 ist diese indirekte zu jener direkten KV harmonisch. 
3 ) A. F. Moebius, Leipz. Ber. 5 (1853) p. 176 — 190 = Werke II 
p. 219-236. 
