372 
Sitzung der math.-phys. Classe vom 9. November 1901. 
Punkte AÄ , BB definirt: man findet dann zu jedem Punkte C 
folgendermassen 1 ) den entsprechenden C': Ist D zu C hin- 
sichtlich AÄ harmonisch, ferner E zu C hinsichtlich BB\ 
F zu D hinsichtlich BB\ Gr zu E hinsichtlich AÄ harmo- 
nisch, so ist C zu C hinsichtlich F und G harmonisch. Ein- 
facher ist folgende Construktion : Schneiden sich die Kreise 
ABC und A B C zum zweitenmale in C x , so schneiden sich 
die Kreise AB C 1 und BÄC 1 zum zweitenmale in C‘ . 
7. Diejenige Möbiusinvolution, die mit einer gegebenen 
direkten K V 'ß die Fixpunkte gemein hat, nennen wir 
die „Fixpunktsinvolution“ von sind Ä , A 0 die Punkte, die 
einem gegebenen Punkte A in iß bezw. in der inversen Trans- 
formation c ß _1 entsprechen, und ist B zu A hinsichtlich A , A 0 
harmonisch, so ist A B ein Paar der Fixpunktsinvolution. 2 3 ) 
Diese Involution ist also linear construirbar, auch wenn die 
Fixpunkte von nicht bekannt sind. 
8. Sind AÄ zwei entsprechende Punkte der direkten 
K V ^ mit den Fixpunkten J/ 2 , so ist das Doppelverhältnis 
(A Ä il/j HI 2 ) constant, wie auch das Paar A Ä gewählt sein 
mag; diese complexe Constante heisst die „Invariante“ von 'iß. 
Sind z 2 die Affixe von M 1 3I 2 , so kann die Gleichung (1) 
in der Form: 
( 5 ) 
z — z a 
y. 
■\ 3 ^« 
z — z a 
-2 " ~2 
geschrieben werden, worin 1 \y. die Invariante von bedeutet; 
dabei hat y. den Wert: 
(6) x=\(a + ä- V(a + d)*- 4)', 
wenn, wie in der Folge immer, ad — bc = 1 angenommen wird. 
Die Invariante einer Möbiusinvolution ist gleich — 1. Genügen 
die direkten Kreisverwandtschaften <l ß. '5J3', G der Beziehung: 
1 ) H. Wiener, Leipz. Ber. 43 (1891) p. 670. 
2 ) H. Schroeter, Journ. f. Math. 77 p. 120 f. (1874); H. Wiener a. a. 0. 
3 ) Ygl. auch Klein-Fricke, Yorl. über die Theorie der elliptischen 
Modulfunktionen, Bd. I p. 163 ff. Leipzig 1890. 
