374 Sitzung der mcith.-phys. Clause vom 9. November 1901. 
direkte KV iß, und zwar eine sog. „zweispiegelige“ Verwandt- 
schaft. 1 ) Schneiden sich die beiden reellen Direktrixkreise der 
Inversionen J x J 2 (wir nennen sie kurz die Kreise <7, J 2 ) in 
2 reellen Punkten M 1 M 2 , so sind diese die Fixpunkte von ‘ß, 
und diese KV wird als „ elliptische Transformation“ 2 ) bezeich- 
net ; im entgegengesetzten F all gibt es 2 reelle Punkte M x M 2 , 
die hinsichtlich J x und J 2 gleichzeitig invers sind ; diese sind 
die Fixpunkte der Kreisverwandtschaft ß, die man jetzt eine 
„hyperbolische Transformation' nennt. 
Die Kreise des Büschels (J x , J 2 ) sind die Niveaukreise 3 ) 
von “ß, d. h. sie gehen vermöge *ß ineinander über; die Kreise 
des dazu adjungirten 4 ) Büschels nennt man die Bahnkreise, 
da sie (und nur sie, falls *ß keine Involution ist) vermöge *ß 
einzeln invariant bleiben. Umgekehrt ist jede direkte KV, die 
einen einteiligen Kreis K festlässt, eine zweispiegelige KV 
die K als Bahnkreis besitzt. 
10. Da jedes Paar einer hyperbolischen KV zu den Fix- 
punkten cyclisch, jedes Paar einer elliptischen KV zu den Fix- 
punkten orthocyclisch liegt, also die Zahl x (Nr. 8) im ersten 
Fall reell ist, im zweiten den absoluten Betrag 1 besitzt, so 
schliesst man leicht: die Transformation (1) ist, wenn ad—bc— 1 
angenommen wird, dann und nur dann elliptisch, wenn a -p d 
reell, ( a + dy <4 ist; sie ist dann und nur dann hyperbolisch, 
wenn entweder a -j- d reell, (a -j- d ) 2 > 4 oder wenn a -j- d rein 
imaginär ist. Eine direkte KV mit zusammenfallenden Fix- 
punkten ist durch die Bedingung (« -j— c?) a = 4 charakterisirt; 
eine solche ist daher stets zweispiegelig ; ihre Bahn- und Niveau- 
kreise bilden je ein Berührungsbüschel. 
0 Unter einer Spiegelung verstehen wir hier stets nur eine Inver- 
sion, nicht auch eine Möbiusinvolution, im Gegensatz zu der Bezeich- 
nungsweise des Herrn Wiener, wonach jede direkte KV, als Produkt 
zweier Involutionen (Nr. 36), zweispiegelig heisst. 
2 ) Klein-Fricke a. a. 0. 
3 ) Klein-Fricke a. a. 0. 
4 ) so sagen wir statt „conjugirt“, da wir dieses Wort zu häufig in 
anderem Sinn gebrauchen müssen. 
