E. v. Weber: Kreisverwandtschaften. 
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11. Aus der Thatsache, dass das Produkt dreier Inver- 
sionen dann und nur dann eine Inversion liefert, wenn die 
3 Direktricen, oder wie wir kurz sagen wollen, die 3 Inver- 
sionen demselben Büschel angehören, *) schliesst man leicht, 
dass in der Gleichung 
iß = J x J 2 oder J, iß = J 2 , t $J 2 = J 1 
jeder der Faktoren J 2 innerhalb des Büschels J 2 ) be- 
liebig gewählt werden kann, worauf dann der andere eindeutig 
bestimmt ist; mit anderen Worten: Ergibt eine zweispiegelige 
KV mit einer Inversion J links oder rechts multiplicirt eine 
Inversion, so gehört J dem Büschel der Niveaukreise an und 
umgekehrt. 
12. Damit die Inversionen J l und J 2 vertauschbar seien, 
ist notwendig und hinreichend, dass ihre Direktricen sich recht- 
winklig schneiden; ihr Produkt liefert in diesem Falle (und 
nur in diesem) eine Möbiusinvolution 3; eine solche kann so- 
wohl als elliptische wie als hyperbolische KV aufgefasst werden. 
Jeder Kreis, der die Fixpunkte derselben enthält oder har- 
monisch trennt, bleibt bei 3 invariant, so dass der Unterschied 
zwischen Bahn- und Niveaukreisen verschwindet; wir wollen 
beide Kreissysteme als Bahnkreise von 3 bezeichnen. 
Es möge hier beiläufig die Aufgabe erledigt werden, alle 
Möbiusinvolutionen 3 zu bestimmen, die 2 gegebene einteilige 
Kreise K , K ineinander überführen. Sind M 1 M 2 die Fix- 
punkte einer solchen Transformation 3 und x der durch M x M 2 
gehende zu K orthogonale einteilige Kreis, so steht x auch 
auf K' senkrecht, da ja 3 den Kreis K in K, den Kreis x 
in sich überführt. Bezeichnet man also mit {x} die Inversion 
an dem Kreise so ist 3 gleich dem Produkte {x} { A}, wo X 
den in M 1 31 2 auf x senkrecht stehenden einteiligen Kreis be- 
zeichnet. Da nun die Inversion {x} die Kreise K, K invariant 
lässt, so muss {A} den Kreis K in K transformiren, d. h. X 
ist ein einteiliger Potenzkreis der beiden gegebenen. Die 
b H. Wiener, Leipz. Ber. 43 p. G69 (1891). 
