E. v. Weber: Kreisverwandtschaften. 377 
so schneiden sich entweder die Kreise A Ä A" und JBB B' 
in 31, M 2 , oder das durch sie bestimmte Büschel hat 31, 3I 2 
zu Grenzpunkten. 
Kennt man von der direkten K V iß den einen Fixpunkt 
31,, so ist der zweite als vierter harmonischer Punkt zu 31, 
hinsichtlich eines beliebigen Paars der Fixpunktsinvolution 
linear construirbar. 
15. Wird eine indirekte Kreisverwandtschaft Q, die keine 
Inversion ist, durch die Formel (2) dargestellt, worin wieder 
ad — b c — 1 gesetzt ist, so hat die direkte K V CP die Form: l ) 
, (a ä -j- bc) z -f- (ab -f- b d) 
Z • ~ ~ i 
(ca -\-dc)z -f- (cb -J- dd) 
ist also nach Nr. 10, da ihre Determinante auch gleich 1 wird, 
zweispiegelig. Ihre Fixpunkte bleiben entweder bei Q eben- 
falls fest oder sie vertauschen sich gegenseitig; im ersten Fall 
bezeichnen wir sie als Fixpunkte von C) und Q selbst als 
„hyperbolisch“; im zweiten Fall als „Gegenpunkte“ von Ci 
und Ci selbst als „elliptisch“; ist Ci 2 parabolisch, so nennen 
wir auch Ci eine parabolische Verwandtschaft. 
Ist die indirekte KV Ci hyperbolisch, und bedeuten 
31, 31 2 ihre Fixpunkte, ferner J die Inversion mit dem Centrum 
31, , die den Punkt 31 2 mit dem auf der Geraden 31, 31 2 zu 
wählenden Coordinatenanfangspunkt 0 vertauscht, so hat die 
indirekte KV JQ.J augenscheinlich die Form z — aa, wo a 
eine complexe Constante bedeutet, lässt also, wie man sofort 
durch Rechnung bestätigt, zwei senkrechte durch 0 gehende 
Gerade und sonst keine reellen Kreise oder Geraden invariant. 
Ist ferner Ci elliptisch, und bedeuten 31, 31 2 ihre Gegenpunkte, 
ferner J dieselbe Inversion wie vorhin, so hat die Kreisver- 
wandtschaft JQ.J die Form z — a/5, lässt also einen ein- 
teiligen Kreis mit dem Centrum 0 und den zu ihm concentri- 
schen und orthogonalen nullteiligen Kreis, ausserdem aber 
keine reellen Kreise oder Geraden stehen; daraus folgt: 
b Klein-Fricke a. a. 0. p. 198 f. 
