384 Sitzung der math.-phys. Classe vom 9. November 1901. 
Punkte nämlich, die durch die Paare einer direkten reellen 
K V repräsentirt werden, genügen der Gleichung: 
( 5 ) 
a + iy) + b 
c(x + iy)+d' 
Sowie man nun die oo 2 complexen Punkte, die durch eine 
Gleichung der Form 
f ( x , y) = 0 oder cp (x -\- iy, x — iy) = 0 
definirt werden, als eine „Curve“ bezeichnet, ebenso nennen 
wir den Inbegriff aller complexen Punkte x, y, die einer Re- 
lation der Form 
<P (« + iy, x — iy) = 0 
genügen, ein „Punktfeld“, insbesondere ein circulares, wenn 
diese Gleichung die Form (5) hat; doch wollen wir der Kürze 
halber das Wort Punktfeld stets in diesem speziellen Sinne 
gebrauchen. 
Jeder direkten reellen K V entspricht so ein ganz be- 
stimmtes Punktfeld, und umgekehrt; der identischen Trans- 
formation insbesondere ist das Feld der reellen Punkte 
x — iy — x -f- iy 
zugeordnet. Da das reelle Punktfeld genau oo 6 Kreisverwandt- 
schaften gestattet, nämlich alle reellen, so können die Punkt- 
felder der Ebene, wie man leicht erkennt, auch definirt werden 
als der Inbegriff der oo 6 Lagen, die das reelle Punktfeld bei 
beliebiger complexer K V annimmt. 
Das Doppelverhältnis von 4 reellen Punkten der Ebene 
ist gleich demjenigen der 4 von ihnen auslaufenden Minimal- 
strahlen des ersten Systems, und gleich dem conjugirten Wert 
des Doppelverhältnisses der 4 durch sie gehenden Minimal- 
geraden des zweiten Systems. Demnach lässt sich die Eigenart 
der Punktfelder und complexen Kreise auch so aussprechen: 
Bezieht man die beiden Büschel von Minimalgeraden projektiv 
aufeinander, d. h. so, dass je 4 Strahlen des ersten Büschels 
dasselbe Doppelverhältnis haben wie die entsprechenden des 
