E. v. Weber: Kreisverwandtschaften. 
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zweiten, so schneiden sich entsprechende Strahlen, wie be- 
kannt, in den Punkten eines complexen Kreises; bezieht man 
aber die zwei Büschel „conjugirt-projektiv“, nämlich so, dass 
die Doppelverhältnisse entsprechender Quodrupel conjugirte 
Werte haben, so ist das Erzeugnis ein Punktfeld. Bemerken 
wir noch, dass das Doppelverhältnis von 4 Punkten [M,- _B,] 
eines complexen Kreises gleich dem Doppelverhältnis der 4 
reellen Punkte A 1 A 2 A 3 A i oder gleich dem conjugirten Wert 
des Doppelverhältnisses (B 1 JB 2 JB 3 F> 4 ) zu setzen ist. 
Ein Punktfeld oder ein complexer Kreis artet dann und 
nur dann in ein Paar von Minimalgeraden aus, wenn die zu- 
gehörige KV singulär ist; die singulären Punkte der letzteren 
sind die reellen Punkte jener beiden Minimalgeraden. 
23. Unter der „ Inversion an dem complexen Kreis Q“ 
verstehen wir diejenige involutorische indirekte K V, die alle 
Punkte des Kreises Q einzeln fest lässt; sie hat die Form 
— dz -f- b 
cz — a 
wenn Q selbst durch (3) definirt ist. Der dem Punkt [MF?] 
hinsichtlich des Kreises inverse Punkt [M'-Z?*] wird also 
nach der Vorschrift 
M{0}#; A {0}B 
gefunden ; einem reellen Punkte A entspricht demnach der- 
jenige comjilexe, dessen Repräsentanten dem A rückwärts 
bezw. vorwärts entsprechen, mit andern Worten: das reelle 
Punktfeld verwandelt sich durch Spiegelung an dem complexen 
Kreise in das Punktfeld Q 2 . Ist Q hyperbolisch, so bleiben 
bei der Inversion an ö zwei reelle Punkte fest, nämlich die 
Fixpunkte von Q; ist Q elliptisch, so gibt es zwei reelle Punkte, 
die sich vermöge jener Inversion entsprechen: die Gegenpunkte 
von Q. 
Sind die Punkte M, N' durch die Angaben 
oo {£}} N', 7BT {O} oo 
