388 Sitzung der math.-phys. Classe vom 9. November 1901. 
durch 93 und £} in derselben Weise projektiv bezogen; diese 
K V haben sonach oo l Paare reeller entsprechender Punkte 
gemein, mit andern Worten: das Punktfeld 93 schneidet den 
Kreis £1 in oo 1 complexen Punkten. Die von letzteren ge- 
bildete Mannigfaltigkeit bezeichnet man j^assend als eine „Kreis- 
spur“; eine solche entsteht aus den oo 1 reellen Punkten eines 
einteiligen Kreises durch beliebige complexe K V. 
Sind die Kreise der Inversionen 91, 91 nullteilig, so hat 
das Punktfeld 93 mit dem Kreis £9 keinen Punkt gemein. 
Bedeuten A, B zugeordnete Punkte der Inversion 91, ferner 
Ä B die ihnen in 93 entsprechenden Punkte, so hat man 
B'A', 
und Ä B’ ist ein Paar der Inversion 91’, also wird der com- 
plexe Punkt [M-B] sowohl durch iß als durch Q in den Punkt 
[Ä B ] übergeführt. Die reellen Kreise K , K' sind demnach 
so aufeinander bezogen, dass nicht nur ihre etwaigen reellen, 
sondern auch ihre oo 2 complexen Punkte sich vermöge 93 und 
in derselben Weise entsprechen, und man erhält auf diese 
Weise offenbar auch alle Paare entsprechender complexer 
Punkte, die den Verwandtschaften 93 und £} gemeinsam sind. 
Sind die Kreise K, K' identisch, so bleibt K vermöge 93 und £) 
invariant, 93 ist also zweispiegelig, K ein Bahnkreis von 93 
und = 9193 = 93 91. 
III. Vertauschbarkeit und Inversibilität der 
Kreisverwandtschaften. 
27. Die reellen Kreisverwandtschaften 93, £9 heissen ver- 
tauschbar, wenn sie der Gleichung 
( 1 ) 93093-1 = Q oder 93C = 093 
genügen; wir sagen ferner, £} ist durch 93 „inversibel“ oder 
„93 invertirt £1“, wenn die Beziehung 
(2) 93093- 1 = Q- 1 
gilt. Ist 93 eine direkte K V, so führt sie das Punktfeld (bezw. 
den Kreis) £1 unter der ersten Annahme in sich, unter der 
