E. v. Weber: Kreisverwandtschaften. 
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zweiten in das conjugirte Gebilde über; ist dagegen *ß indirekt, 
so findet das Umgekehrte statt. Ein Punktfeld (oder Kreis) 
Q gestattet also dann und nur dann die indirekte Transforma- 
tion ‘iß, wenn Q durch iß inversibel ist. 
Im vorigen Paragraphen haben wir die Wirkung reeller 
Kreisverwandtschaften auf complexe Punkte untersucht; hier 
soll ihre Wirkung auf complexe Kreise und Punktfelder studirt 
werden, d. h. wir bestimmen erstens alle Kreisverwandtschaften, 
die ein gegebenes Punktfeld oder einen complexen Kreis in- 
variant lassen, bezw. in das conjugirte Gebilde überführen, 
zweitens alle Punktfelder und complexen Kreise, die bei einer 
gegebenen KV invariant bleiben oder in das conjugirte Ge- 
bilde übergehen. Dazu brauchen wir nur alle Fälle aufzu- 
zählen, in der die Relation (1) oder (2) stattfindet. 
28. Soll *ß mit Q vertauschbar sein, so muss *ß jedes Paar 
entsprechender Punkte von Q wieder in ein solches Paar über- 
führen. Ist nun ‘•ß eine direkte K V, Q eine indirekte hyper- 
bolische K F, so muss iß die Fixkreise n, n und ebenso die 
Fixpunkte M x M 2 von Q entweder vertauschen oder festlassen. 
Bedeutet jetzt A Ä ein auf n liegendes Paar von Q und hat 
man A Ä {iß} B B , so liegen, wenn ^ß die Fixkreise nri ver- 
tauscht, die Punkte B B auf dem Kreise n . Blieben nun die 
Punkte J/j J/ 2 bei 'iß fest, so wären die reellen Doppelverhältnisse 
(3) {AÄM^Q, {BB'M X M 2 ) 
nach Nr. 17 sowohl gleich als entgegengesetzt, was nicht mög- 
lich ist. Würden andererseits M x und M 2 durch ‘'ß vertauscht, 
so wären jene Doppelverhältnisse sowohl reciprok als entgegen- 
gesetzt, was ebenfalls nicht stattfinden kann. Also muss ^ die 
Fixkreise von Q, aber auch die Fixpunkte M 2 stehen lassen; 
denn andernfalls wären die Doppelverhältnisse (3) gleich und 
reciprok, also harmonisch, d. h. Q wäi’e eine Inversion. Um- 
gekehrt, lässt ‘P die Fixkreise und Fixpunkte von Q in Ruhe, 
so führt sie Q in sich über. 
Ist £) eine indirekte elliptische KV , so weiss man von 
vorneherein, dass ^ß den einteiligen Fixkreis n von Q fest- 
